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法律学一个直角三角形，其两条直角边长分别为\( 3 \mathrm{~cm} \)和\( 4 \mathrm{~cm} \)（不包括斜边），绕其斜边旋转。求由此形成的双圆锥的体积和表面积。（选择合适的\( \pi \)值）。
已知
一个直角三角形，其两条直角边长分别为\( 3 \mathrm{~cm} \)和\( 4 \mathrm{~cm} \)（不包括斜边），绕其斜边旋转。
要求
我们需要求由此形成的双圆锥的体积和表面积。
解答
设直角三角形$ABC$的两条直角边分别为$AB=3\ cm$和$BC=4\ cm$。
根据勾股定理，可得
$AC^2=AB^2+BC^2$
$AC^2=3^2+4^2$
$=9+16$
$=25$
$\Rightarrow AC=\sqrt{25}$
$=5\ cm$
当三角形$ABC$绕斜边$AC$旋转时，会形成如下所示的双圆锥。
在$\triangle \mathrm{ABC}$和$\triangle \mathrm{BDC}$中，
$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{CDB}=90^{\circ}$ ($\mathrm{BD} \perp \mathrm{AC})$)
$\angle \mathrm{BCA}=\angle \mathrm{BCD}$ (公共角)
因此，根据角角相似，
$\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{BDC}$
这意味着，
$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}$ (相似三角形的对应边成比例)
比例)
$\mathrm{BD}=\frac{\mathrm{AB} \times \mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}$
$=\frac{3 \mathrm{~cm} \times 4 \mathrm{~cm}}{5 \mathrm{~cm}}$
$=\frac{12}{5} \mathrm{~cm}$
$=2.4 \mathrm{~cm}$
我们知道，
高为$h$，底半径为$r$的圆锥的体积为$\frac{1}{3} \pi r^{2} h$
图中双圆锥的体积 = 圆锥ABB'的体积 + 圆锥BCB'的体积
$=\frac{1}{3} \times \pi(\mathrm{BD})^{2} \times \mathrm{AD}+\frac{1}{3} \pi(\mathrm{BD})^{2} \times \mathrm{DC}$
$=\frac{1}{3}\times \pi(\mathrm{BD})^{2}(\mathrm{AD}+\mathrm{DC})$
$=\frac{1}{3} \times \pi(\mathrm{BD})^{2} \times \mathrm{AC})$
$=\frac{1}{3}\times 3.14 \times (2.4)^2 \mathrm{~cm} \times 5 \mathrm{~cm}$
$=30.144 \mathrm{~cm}^{3}$
圆锥的侧面积 $=\pi rl$
双圆锥的侧面积 = 圆锥ABB'的侧面积 + 圆锥BCB'的侧面积
$=\pi \times \mathrm{BD} \times \mathrm{AB}+\pi \times \mathrm{BD} \times \mathrm{BC}$
$=\pi \times \mathrm{BD}(\mathrm{AB}+\mathrm{BC})$
$=3.14 \times 2.4 \mathrm{~cm} \times(3 \mathrm{~cm}+4 \mathrm{~cm})$
$=3.14 \times 2.4 \mathrm{~cm} \times 7 \mathrm{~cm}$
$=52.752 \mathrm{~cm}{ }^{2}$
$=52.75 \mathrm{~cm}{ }^{2}$
由此形成的双圆锥的体积和表面积分别为$30.144 \mathrm{~cm}^{3}$和$52.75 \mathrm{~cm}{ }^{2}$。
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