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已知：在直角三角形 $ABC$ 中，∠C 为直角，$M$ 是斜边 $AB$ 的中点。连接 $C$ 和 $M$，并延长到点 $D$，使得 $DM=CM$。连接 $D$ 和 $B$。要求：证明给定的问题。解答：(i) 考虑 $\triangle AMC$ 和 $\triangle BMD$，我们知道，根据边角边全等定理：如果两个三角形的一对对应边和它们的夹角相等，则这两个三角形全等。已知，$CM=DM$，且 $M$ 是斜边 $AB$ 的中点，这意味着 $AM=BM$。我们也知道，对顶角相等…… 阅读更多
已知：在等腰三角形 $ABC$ 中，$AB=A$，∠B 和∠C 的角平分线相交于点 $O$。连接 $A$ 和 $O$。要求：证明(i) $OB=OC$(ii) $AO$ 平分∠A。解答：(i) 我们知道，在等腰三角形中，所有角都相等。这意味着，∠B=∠C，1/2∠B=1/2C，这意味着，∠OBC=∠OCB。因此，由于等角的对边相等，我们得到 $OB=OC$。(ii) 考虑 $\triangle AOB$ 和 $\triangle AOC$，我们知道，根据边边边全等定理，如果一个三角形的三条边分别等于另一个三角形的三条对应边，则…… 阅读更多
"\已知：在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是 $BC$ 的垂直平分线。要求：证明 $\triangle ABC$ 是等腰三角形，其中 $AB=AC$。解答：考虑 $\triangle ADB$ 和 $\triangle ADC$，我们知道，根据边角边全等定理：如果两个三角形的一对对应边和它们的夹角相等，则这两个三角形全等。由于 $AD$ 是两个三角形的公共边，我们得到 $AD=DA$。这意味着，∠ADB=∠ADC。由于 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的垂直平分线，我们得到 $BD=CD$。因此，$\triangle ADB \cong \triangle ADC$。我们也知道，根据全等三角形的对应边：如果两个三角形全等，则它们的对应边必须相等。因此…… 阅读更多
"\已知：$AC=AE, AB=AD$ 和 $\angle BAD=\angle EAC$。要求：证明 $BC=DE$。解答：在 $\angle BAD=\angle EAC$ 的两边都加上 $\angle DAC$，我们得到，$\angle BAD+\angle DAC=\angle EAC+\angle DAC$。这意味着，$\angle BAC=\angle EAD$。我们知道，根据边角边全等定理：如果两个三角形的一对对应边和它们的夹角相等，则这两个三角形全等。已知，$AC=AE$ 和 $AB=AD$。我们还有，$\angle BAC=\angle EAD$。因此，$\angle ABC \cong \angle ADE$。我们也知道，根据全等三角形的对应边：如果两个三角形全等，则它们的对应边必须相等。因此，$BC=DE$。阅读更多
"\已知：$AB$ 是一条线段，$P$ 是它的中点。$D$ 和 $E$ 是 $AB$ 同侧上的点，使得 $\angle BAD=\angle ABE$ 和 $\angle EPA=\angle DPB$。要求：证明(i) $\triangle DAP \cong \triangle EBP$(ii) $AD=BE$。解答：(i) 在 $\angle EPA=\angle DPB$ 的两边都加上 $\angle DPE$，我们得到，$\angle EPA+\angle DPE=\angle DPB+\angle DPE$。这意味着，$\angle DPA=\angle EPB$。现在，考虑 $\triangle DAP$ 和 $EBP$。我们有，$DPA=EPB$。我们也知道，$P$ 是线段 $AB$ 的中点。这意味着，$AP=BP$。由于 $\angle BAD=\angle ABE$。因此，根据角边角定理：如果两个三角形的两个角和它们的夹边…… 阅读更多
"\已知：直线 $l$ 是角 $\angle A$ 的角平分线，且 $B$ 是 $l$ 上的任意一点。$BP$ 和 $BQ$ 是从 $B$ 到 $\angle A$ 的两边的垂线。要求：证明(i) $\triangle APB \cong \triangle AQB$(ii) $BP=BQ$ 或 $B$ 到 $\angle A$ 的两边的距离相等。解答：(i) 我们知道，根据角边角定理：如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，则这两个三角形全等。这意味着，∠P=∠Q 且 $AB=BA$。由于直线 $l$ 是∠A 的角平分线，我们得到，∠BAP=…… 阅读更多
"\已知：$l$ 和 $m$ 是两条平行线，被另一对平行线 $p$ 和 $q$ 所截。要求：证明 $\triangle ABC\cong \triangle CDA$。解答：考虑 $\triangle ABC$ 和 $\triangle CDA$，我们知道，当被截线平行时，内错角相等。这意味着，∠BCA=∠DAC 和 ∠BAC=∠DCA。由于 $AC$ 和 $CA$ 是两个三角形的公共边，我们得到 $AC=CA$。因此，根据角边角定理：如果两个三角形有两对角和它们的夹边分别相等，则这两个三角形全等。我们得到，$\triangle ABC …… 阅读更多
"\已知：$AD$ 和 $BC$ 是线段 $AB$ 的两个相等垂线。
(a) 空气 - 混合物 (b) 铜 - 纯净物 (c) 银 - 纯净物 (d) 糖水 - 混合物 (e) 风 - 混合物 (f) 盐水 - 混合物 (g) 二氧化碳 - 纯净物 (h) 水 - 纯净物 (i) 氮气 - 纯净物 (j) 铁 - 纯净物 (k) 氧气 - 纯净物 (l) 牛奶 - 混合物 (m) 血液 - 混合物 (n) 金 - 纯净物 (o) 黄铜 - 混合物
