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已知：在给定图形中，△ABC 的高 AD 和 CE 相交于点 P。 求证：(i) △AEP ∽ △CDP (ii) △ABD ∽ △CBE (iii) △AEP ∽ △ADB (iv) △PDC ∽ △BEC 证明：(i) 在△AEP 和△CDP 中，∠AEP = ∠CDP = 90°，∠APE = ∠CPD (对顶角)。因此，根据 AA 判定定理，△AEP ∽ △CDP。证毕。(ii) 在△ABD 和△CBE 中，∠ADB = ∠CEB = 90°，∠ABD = ∠CBE (公共角)。因此，根据 AA 判定定理，△ABD ∽ △CBE。证毕。(iii) 在△AEP 和△ADB 中，∠AEP = ∠… 阅读更多
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已知：△ABE ≅ △ACD 求证：△ADE ∽ △ABC 证明：△ABE ≅ △ACD，则 AB=AC，AE=AD (全等三角形的对应边相等)。因此，AB/AC=AD/AE=1。∠DAE=∠BAC。因此，根据 SAS 判定定理，△ADE ∽ △ABC。证毕。
已知：S 和 T 分别是△PQR 的边 PR 和 QR 上的点，使得∠P = ∠RTS。 求证：△RPQ ∽ △RTS。 证明：在△RPQ 和△RTS 中，∠P = ∠RTS，∠P = ∠R。因此，根据 AA 判定定理，△RPQ ∽ △RTS。证毕。
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已知：QR/QS = QT/PR 且∠1 = ∠2。 求证：△PQR ∽ △TQR。 证明：∠1 = ∠2，则 PQ = PR (等角对等边)。在△PQS 和△TQR 中，QR/QS = QT/PR，由于 PQ=PR，所以 QR/QS = QT/PQ。∠PQS = ∠TQR = ∠1。因此，根据 SAS 判定定理，△PQS ∽ △TQR。证毕。(注意：原证明中结论有误，这里修正为相似三角形为PQS和TQR)
已知：梯形 ABCD (AB∥DC) 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O。 求证：OA/OC = OB/OD。 证明：在△AOB 和△COD 中，∠AOB = ∠COD (对顶角相等)，∠OAB = ∠OCD (AB∥DC，内错角相等)。因此，△AOB ∽ △COD。则 OA/OC = OB/OD (相似三角形的对应边成比例)。证毕。
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已知：△ODC ∽ △OBA，∠BOC = 125° 且∠CDO = 70°。 求∠DOC、∠DCO 和∠OAB。 解：由图可知，∠DOC = 180° - 125° = 55° (平角)。在△DOC 中，∠DCO + ∠ODC + ∠DOC = 180°，∠DCO + 70° + 55° = 180°，∠DCO = 55°。因为△ODC ∽ △OBA，所以∠OAB = ∠OCD = 55°。因此，∠DOC = 55°，∠DCO = 55°，∠OAB = 55°。
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解：(i) 在△ABC 和△PQR 中，∠A = ∠P = 60°，∠B = ∠Q = 80°，∠C = ∠R = 40°。因此，根据 AAA 判定定理，△ABC ∽ △PQR。(ii) 在△ABC 和△PQR 中，BC/PR = 2.5/5 = 1/2，AB/QR = 2/4 = 1/2，AC/PQ = 3/6 = 1/2。因此，根据 SSS 判定定理，△ABC ∽ △QRP。(iii) 在△LMP 和△EFD 中，LM/EF = 2.7/5 = 27/50，LP/DF = 3/6 = 1/2，MP/DE = 2/4 = 1/2。LM/EF ≠ LP/DF = MP/DE，因此△LMP 与△EFD 不相似。(iv) 在△MNL 和△PQR 中，MN/PQ = 2.5/5 = 1/2，ML/QR = 5/10 = 1/2，∠M = ∠Q = 70°。因此，根据 SAS 判定定理，△NML ∽ △PQR。(v) … 阅读更多
已知：四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，使得 AO/BO = CO/DO。 求证：ABCD 是梯形。 证明：作 EF∥AB。AO/BO = OC/OD，则 AO/CO = BO/DO……(i)。在△BAD 中，EO∥AB，根据比例线段定理，DE/EA = DO/BO，AE/ED = BO/DO……(ii)。由 (i) 和 (ii) 得，AO/CO = AE/ED。根据比例线段定理的逆定理，OE∥CD。因为 AB∥OE，所以 AB∥CD。因此，ABCD 是梯形。证毕。阅读更多
已知：ABCD 是一个梯形，其中 AB∥DC，其对角线相交于点 O。 求证：AO/BO = CO/DO。 证明：作 EO∥DC。在△ABD 中，DC∥AB，EO∥DC，则 AE/ED = BO/DO……(i)。在△ADC 中，EO∥DC，则 AE/ED = AO/CO……(ii)。由 (i) 和 (ii) 得，BO/DO = AO/CO，则 AO/BO = CO/DO。证毕。
证明：设在△ABC 中，D 为 AB 的中点。在△ABC 中，AD/DB = 1……(i)，AE/EC = 1……(ii)。因此，AD/DB = AE/EC。根据比例线段定理的逆定理，DE∥BC。证毕。