自动机中的字符串基础

自动机理论使用集合、语言、文法、正则表达式等多个概念。有限自动机和有限状态机可以接受字母表、字符串和子字符串。正则表达式 的概念涵盖前缀和后缀。

学习形式语言和自动机理论的基础知识需要一些与数学相关的基本术语。本章将介绍字符串的概念及其在自动机理论中的应用。

自动机中字符串的基本概念

字符串是语言的基本组成部分，它由符号和字母组成。在自动机理论中，许多自动机用于根据输入接受或生成字符串。

字符串的基本概念可以分为以下三个部分：

• 符号 - 符号是字符串的基本构建块。我们可以将其比作字母表中的字母。
• 字母表 (Σ) - 语言中所有可能的符号称为字母表。在自动机中，我们也使用字母表，它只不过是用于创建字符串的有限符号集。
• 字符串 (w) - 最后，字母表集中存在的字母或符号的集合称为字符串。在自动机理论中，我们使用符号“w”来表示字符串。字符串的长度是有限的。

自动机理论中的字符串属性

在自动机理论中，它没有像我们在日常生活中或不同的编程任务中使用的复杂字符串属性，例如操作或转换。但是，它关注的是如何构建和识别这些字符串。

让我们考虑以下字符串属性：

• 字符串长度 - 字符串中存在的字母或有效符号（显然它们存在于字母表中）的数量。
• 有限性 - 在自动机理论中，我们使用有限字符串。在自动机理论中，我们不使用无限长的字符串。
• 字符串的顺序 - 当我们在自动机中使用多个字符串时，它们必须遵循顺序，例如，如果w是一个字符串，而w^T是它的反转，要检查以w开头的回文，我们必须遵循顺序ww^T。
• 连接 - 我们可以通过连接操作将多个字符串组合在一起，例如“ab”与“cd”连接将得到“abcd”。
• 空字符串 (ε) - 空字符串或 ε 的概念在自动机理论中是独一无二的，它就像一个占位符，什么也不包含，甚至没有一个符号。

字符串组件

字符串必须具有多个组件，或者我们可以将字符串分解成多个部分。这些可以分类如下：

1. 前缀

前缀只不过是字符串的起始部分。例如，如果“banana”是一个字符串，那么“ba”可以是它的一个前缀。整个字符串本身，即“banana”，也可以是它的前缀。

注意 - 如果一个字符串中有“n”个字符，那么可能会有 2ⁿ 个前缀，包括空字符串。

2. 真前缀

真前缀类似于前缀，但在这里我们不考虑字符串本身。如果“banana”是一个字符串，那么“banana”本身不会是真前缀。因此，将有 (2^n-1) 个真前缀。

3. 后缀

后缀是字符串的结尾部分。例如，如果“automata”是一个字符串，那么它的后缀可以是“ta”，“ata”，“mata”。甚至整个单词“automata”也可以是它自己的后缀之一。

注意 - 如果一个字符串中有“n”个字符，那么可能会有 2ⁿ 个后缀，包括空字符串。

4. 真后缀

真后缀就像后缀，但在这里我们不考虑字符串本身。如果“automata”是一个字符串，那么“automata”本身不会是真后缀。因此，将有 (2^n-1) 个真后缀。

字符串及其组件的应用

我们在自动机中确定给定字符串是否属于特定语言。前缀有助于识别自动机中处理字符串的合法起始点，允许它有效地遍历字符串并检查它是否遵循定义的模式。

后缀在自动机中使用较少，但在某些结构中可能会有所帮助，例如后缀树，它可以有效地搜索大型字符串集中的模式。

结论

在自动机理论中，字符串是我们用来通过自动机设计系统的一个基本组成部分。在这里，我们考虑语言、文法等概念，其中字符串只不过是语言的实际示例或结果。

我们可以设计自动机来检查字符串是否存在于给定规则中。本章解释了字符串的基础知识以及它们如何在自动机中使用，包括它们的前缀和后缀等组件以及示例。