自动机理论中的集合论

集合论的概念在离散数学和计算机科学中起着重要的作用。在自动机理论中，我们将集合视为定义机器、语言和关系的基本实体。

在本章中，我们将详细解释集合论的概念以及不同类型的集合和术语。

集合论基础

集合只不过是一组对象的集合，其中元素或成员是用于构建它的对象。让我们检查一下它的一些特征 -

• 集合是一组对象。这个集合本身可以被视为一个单一的实体。
• 集合包含不同的元素。例如，如果元素 a 属于集合 S，则表示为 a ∈ S。
• 我们可以将集合视为一个明确定义的边界。如果 S 是一个集合，a 是任何元素，那么根据 a 的属性，可以判断 a ∈ S 或 a ∉ S。
• 集合可以通过其属性来表征。例如，如果 p 是 S 元素的定义属性，则 S 表示为 S = {a : a 具有属性 p}。

为了通过属性清楚地理解集合，让我们看一些例子 -

• 所有整数的集合表示为 S = {a: a 是整数}。这里，7 ∈ S 但 \mathrm{\frac{1}{7} \: \isin S}。
• 所有奇数的集合表示为 S = {a: a 不能被 2 整除}。这里，7 ∈ S 但 8 ∉ S。
• 小于 100 的所有素数的集合表示为 S = {a: a 是素数且小于 100}。这里，23 ∈ S 但 98 ∉ S 和 101 ∉ S。

现在让我们了解一些集合论的重要术语和概念。

集合的基数

集合的基数只不过是集合中存在的元素的数量。对于集合 S，基数表示为 |S| 或 n(S)。

例如，如果 S = {1, 2, 5, 6, 7, 9, 13} 是一个集合，则 |S| = n(S) = 7，因为集合 S 中存在 7 个元素。

子集

在集合论中，集合 S 的子集是指 S1 的每个元素都是 S 的元素。我们可以将子集用符号表示为 S1 ⊂ S。子集的反面是超集，因为 S 是 S1 的超集。

假设我们有一个包含所有整数的集合 Z，另一个集合 E 包含所有偶数自然数，那么 E 可以表示为 E ⊂ Z。

让我们再举一个例子。有一个集合 S 包含可以被 6 整除的数字，T 是一个包含可以被 2 整除的数字的集合。那么，根据如果一个数字可以被 6 整除，它必须可以被 2 和 3 整除的性质，S ⊂ T。

相等集合

如果两个集合 "S" 和 "T" 具有相同数量的元素和相同的元素，则称它们相等。元素在集合中的排列顺序不会影响集合的相等性。

例如，考虑以下 -

• S = {10, 20, 30, 40, 50}
• T = {x : 10 到 50 之间所有 10 的整数倍}

"S" 和 "T" 是两个相等的集合。

集合类型

下表突出显示了一些更重要的集合类型及其示例 -

结论

在本章中，我们解释了与集合相关的术语，如基数、集合类型、子集、超集、幂集等。这些是集合论的基础，在离散数学和计算机科学中至关重要。