从下列四个选项中选择正确的答案
在下图中，两条线段$\mathrm{AC}$和$\mathrm{BD}$相交于点$\mathrm{P}$，使得$\mathrm{PA}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{~PB}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{PC}=2.5 \mathrm{~cm}, \mathrm{PD}=5 \mathrm{~cm}, \angle \mathrm{APB}=50^{\circ}$和$\angle \mathrm{CDP}=30^{\circ}$。则$\angle \mathrm{PBA}$等于

(A) $50^{\circ}$
(B) $30^{\circ}$
(C) $60^{\circ}$
(D) $100^{\circ}$

已知

两条线段$\mathrm{AC}$和$\mathrm{BD}$相交于点$\mathrm{P}$，使得$\mathrm{PA}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{~PB}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{PC}=2.5 \mathrm{~cm}, \mathrm{PD}=5 \mathrm{~cm}, \angle \mathrm{APB}=50^{\circ}$和$\angle \mathrm{CDP}=30^{\circ}$。

求解

我们要求$\angle \mathrm{PBA}$。

解

在$\triangle APB$和$\triangle CPD$中，

$\angle APB=\angle CPD=50^{\circ}$          (对顶角)

$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}=\frac{6}{5}$..........(i)

$\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{CP}}=\frac{3}{2.5}$

$\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{CP}}=\frac{6}{5}$.......(ii)

由(i)和(ii)，我们得到：

$\frac{AP}{PD}=\frac{BP}{CP}$

因此，根据SAS相似性，

$\triangle \mathrm{APB} \sim \triangle \mathrm{DPC}$

这意味着：

$\angle A=\angle D=30^{\circ}$          (相似三角形的对应角)

三角形的内角和为$180^{\circ}$

在$\triangle APB$中，

$\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{APB}=180^{\circ}$

$30^{\circ}+\angle B+50^{\circ}=180^{\circ}$

$\angle B=180^{\circ}-(50^{\circ}+30^{\circ})$

$\angle B=180-80^{\circ}$

$\angle B=100^{\circ}$

因此，$\angle \mathrm{PBA}=100^{\circ}$。

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更新于： 2022年10月10日

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