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法学因式分解表达式 $x^8-1$。
已知
给定的代数表达式为 $x^8-1$。
待求
我们需要因式分解表达式 $x^8-1$。
解答
因式分解代数表达式
因式分解代数表达式是指将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当代数表达式写成质因数的乘积时，该表达式已被完全因式分解。
$x^8-1$ 可写成，
$x^8-1=(x^4)^2-(1)^2$
此处，我们可以观察到给定的表达式是两个平方的差值。因此，通过使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以因式分解给定的表达式。
因此，
$x^8-1=(x^4)^2-(1)^2$
$x^8-1=(x^4+1)(x^4-1)$
现在，
$(x^4-1)$ 可以写成，
$(x^4-1)=(x^2)^2-(1)^2$ [因为 $1=1^2$]
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以因式分解 $(x^2)^2-(1)^2$。
$(x^2-1^2)^2=(x^2+1)(x^2-1)$.............(I)
$(x^2-1)$ 可以写成，
$(x^2-1)=(x)^2-(1)^2$ [因为 $1=1^2$]
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以因式分解 $(x)^2-(1)^2$
$x^2-1^2=(x+1)(x-1)$..................(II)
因此，使用 (I) 和 (II)，我们得到，
$x^8-1=(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)$。
更新于: 2023-04-07
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