如图所示，正方形 $OABC$ 内接于四分之一圆 $OPBQ$。如果 $OA = 20\ cm$，求阴影部分的面积。（使用 $\pi = 3.14$）
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已知

正方形 OABC 内接于四分之一圆 OPBQ。$OA=20\ cm$。

要求

我们需要求阴影部分的面积。

解答

$OABC$ 是一个正方形，且 $OA=AB=BC=CA=20\ cm$

连接 $OB$。

在 $\vartriangle OAB$ 中，

$OB^{2} =OA^{2} +AB^{2}$

$\Rightarrow \ OB^{2} =20^{2} +20^{2}$

$\Rightarrow OB^{2} =400+400$

$\Rightarrow OB=\sqrt{800}$

$\Rightarrow OB=20\sqrt{2}$

这里，$OB$ 是给定四分之一圆的半径 $r$。

给定四分之一圆的面积 $A_{1} =\frac{\theta }{360^{o}} \times \pi r^{2}$

$A_{1} =\frac{90^{o}}{360^{o} } \times 3.14\times \left( 20\sqrt{2}\right)^{2}$

$\Rightarrow A_{1} =\frac{1}{4} \times 3.14\times 800$

$\Rightarrow A_{1} =628cm^{2}$

正方形的面积 $A_{2} =( 边长)^{2}$

$\Rightarrow A_{2} =20\times 20$

$\Rightarrow A_{2} =400cm^{2}$

阴影部分的面积，$A=$四分之一圆的面积，$A_{1} -$正方形的面积，$A_{2}$

$A=628-400$

$\Rightarrow A=228cm^{2}$

因此，阴影部分的面积为 $228cm^{2}$。

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更新时间： 2022年10月10日

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