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法律研究在给定图形中，圆的两条弦$AB$和$CD$（延长后）在圆外一点$P$处相交。
(i) $∆PAC \sim ∆PDB$。
(ii) $PA \times PB = PC \times PD$。
"
已知
圆的两条弦$AB$和$CD$（延长后）在圆外一点$P$处相交。
需要证明
我们需要证明
(i) $∆PAC \sim ∆PDB$。
(ii) $PA \times PB = PC \times PD$。
解答
(i) 在$\triangle \mathrm{PAC}$和$\triangle \mathrm{PBD}$中，
$\angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{BPD}$ (公共角)
$\angle \mathrm{ACP}=\angle \mathrm{ABD}$ (在圆内接四边形中，内角等于其对角的外角)
因此，根据角角相似，
$\triangle \mathrm{PAC} \sim \triangle \mathrm{PDB}$
证毕。
(ii) 在$\triangle \mathrm{PAC}$和$\triangle \mathrm{PBD}$中，
$\angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{BPD}$ (公共角)
$\angle \mathrm{ACP}=\angle \mathrm{ABD}$ (在圆内接四边形中，内角等于其对角的外角)
因此，根据角角相似，
$\triangle \mathrm{PAC} \sim \triangle \mathrm{PDB}$
这意味着，
$\frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PB}}=\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PD}}$
$\mathrm{PC} \times \mathrm{PD}=\mathrm{PA} \times \mathrm{PB}$
证毕。
更新于: 2022年10月10日
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