在给定图形中，圆的两条弦$AB$和$CD$（延长后）在圆外一点$P$处相交。
(i) $∆PAC \sim ∆PDB$。
(ii) $PA \times PB = PC \times PD$。
"

已知

圆的两条弦$AB$和$CD$（延长后）在圆外一点$P$处相交。

需要证明

我们需要证明

(i) $∆PAC \sim ∆PDB$。

(ii) $PA \times PB = PC \times PD$。

解答

 (i) 在$\triangle \mathrm{PAC}$和$\triangle \mathrm{PBD}$中，

$\angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{BPD}$        (公共角)

$\angle \mathrm{ACP}=\angle \mathrm{ABD}$        (在圆内接四边形中，内角等于其对角的外角)

因此，根据角角相似，

$\triangle \mathrm{PAC} \sim \triangle \mathrm{PDB}$

证毕。

(ii)  在$\triangle \mathrm{PAC}$和$\triangle \mathrm{PBD}$中，

$\angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{BPD}$        (公共角)

$\angle \mathrm{ACP}=\angle \mathrm{ABD}$        (在圆内接四边形中，内角等于其对角的外角)

因此，根据角角相似，

$\triangle \mathrm{PAC} \sim \triangle \mathrm{PDB}$

这意味着，

$\frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PB}}=\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PD}}$

$\mathrm{PC} \times \mathrm{PD}=\mathrm{PA} \times \mathrm{PB}$

证毕。

教程点

更新于: 2022年10月10日

55 次浏览

开启你的职业生涯

完成课程获得认证

开始学习