一个圆锥、一个半球和一个圆柱体，它们底面积相等且具有相同的高度。证明它们的体积之比为 $1 : 2 : 3$。

 已知

一个圆锥、一个半球和一个圆柱体，它们底面积相等且具有相同的高度。

要求

我们需要证明它们的体积之比为 $1 : 2 : 3$。

解答

圆锥、半球和圆柱体的底面积和高度相等。

设 $r$ 为半径，$h$ 为它们的高度。

这意味着：

圆锥的体积 $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

半球的体积 $=\frac{2}{3} \pi r^{3}$

圆柱体的体积 $=\pi r^{2} h$

因此：

它们的体积之比 $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h: \frac{2}{3} \pi r^{3}: \pi r^{2} h$

$=\frac{1}{3} h: \frac{2}{3} r: h$

$=\frac{1}{3} h: \frac{2}{3} h: h$

$=\frac{1}{3}: \frac{2}{3}: 1$

$=1: 2: 3$

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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