一个圆柱体和一个圆锥体的底面半径和高都相等。如果它们的侧面积之比为 $8 : 5$，证明每个圆柱体或圆锥体的半径与高的比为 $3 : 4$。

 已知

一个圆柱体和一个圆锥体的底面半径和高都相等。

它们的侧面积之比为 $8 : 5$。

要求

我们必须证明每个圆柱体或圆锥体的半径与高的比为 $3 : 4$。

解答

设圆柱体的半径为 $r$，圆锥体的半径为 $r$。

设圆柱体的高为 $h$，圆锥体的高为 $h$。

这意味着，

圆锥体的斜高 $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

圆锥体的侧面积 $=\pi r l$

$=\pi r \sqrt{r^{2}+h^{2}}$

圆柱体的侧面积 $=2 \pi r h$

因此，

圆锥体和圆柱体侧面积之比 $=8: 5$

$\frac{2 \pi r h}{\pi r(\sqrt{r^{2}+h^{2}})}=\frac{8}{5}$

$\frac{2 h}{\sqrt{r^{2}+h^{2}}}=\frac{8}{5}$

两边平方，得到，

$\frac{4 h^{2}}{r^{2}+h^{2}}=\frac{64}{25}$

$100 h^{2}=64 r^{2}+64 h^{2}$

$100 h^{2}-64 h^{2}=64 r^{2}$

$36 h^{2}=64 r^{2}$

$\frac{r^{2}}{h^{2}}=\frac{36}{64}$

$\Rightarrow \frac{r}{h}=\frac{6}{8}$

$\frac{r}{h}=\frac{3}{4}$

每个圆柱体或圆锥体的半径与高的比为 $3 : 4$。

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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