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法律研究一个圆柱体和一个圆锥体的底面半径和高都相等。如果它们的侧面积之比为 $8 : 5$，证明每个圆柱体或圆锥体的半径与高的比为 $3 : 4$。
已知
一个圆柱体和一个圆锥体的底面半径和高都相等。
它们的侧面积之比为 $8 : 5$。
要求
我们必须证明每个圆柱体或圆锥体的半径与高的比为 $3 : 4$。
解答
设圆柱体的半径为 $r$，圆锥体的半径为 $r$。
设圆柱体的高为 $h$，圆锥体的高为 $h$。
这意味着，
圆锥体的斜高 $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$
圆锥体的侧面积 $=\pi r l$
$=\pi r \sqrt{r^{2}+h^{2}}$
圆柱体的侧面积 $=2 \pi r h$
因此，
圆锥体和圆柱体侧面积之比 $=8: 5$
$\frac{2 \pi r h}{\pi r(\sqrt{r^{2}+h^{2}})}=\frac{8}{5}$
$\frac{2 h}{\sqrt{r^{2}+h^{2}}}=\frac{8}{5}$
两边平方，得到，
$\frac{4 h^{2}}{r^{2}+h^{2}}=\frac{64}{25}$
$100 h^{2}=64 r^{2}+64 h^{2}$
$100 h^{2}-64 h^{2}=64 r^{2}$
$36 h^{2}=64 r^{2}$
$\frac{r^{2}}{h^{2}}=\frac{36}{64}$
$\Rightarrow \frac{r}{h}=\frac{6}{8}$
$\frac{r}{h}=\frac{3}{4}$
每个圆柱体或圆锥体的半径与高的比为 $3 : 4$。
证毕。
更新于: 2022年10月10日
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