一个圆柱形水桶，高$32 \mathrm{~cm}$，底面半径为$18 \mathrm{~cm}$，装满沙子。将水桶里的沙子倒在地上，形成一个圆锥形的沙堆。如果圆锥形沙堆的高度为$24 \mathrm{~cm}$，求沙堆的半径和斜高。

已知

一个圆柱形水桶，高$32 \mathrm{~cm}$，底面半径为$18 \mathrm{~cm}$，装满沙子。

将水桶里的沙子倒在地上，形成一个圆锥形的沙堆。

圆锥形沙堆的高度为$24 \mathrm{~cm}$

要求

我们需要求出沙堆的半径和斜高。

解答

圆柱形水桶的半径 $r=18 \mathrm{~cm}$

圆柱形水桶的高度 $h=32 \mathrm{~cm}$

这意味着，

水桶中沙子的体积 $=\pi r^{2} h$

$=\pi(18)^{2} \times 32$

$=\pi \times 324 \times 32$

$=10368 \pi \mathrm{cm}^{3}$

圆锥形沙堆的高度 $H=24 \mathrm{~cm}$
设圆锥形沙堆的半径为 $R$。

这意味着，

圆锥形沙堆的体积 $=\frac{1}{3} \pi R^{2} H$

$\Rightarrow 10368 \pi=\frac{1}{3} \times \pi R^{2} \times 24$

$\Rightarrow R^{2}=\frac{10368 \pi \times 3}{\pi \times 24}$

$=1296$

$=(36)^{2}$

$\Rightarrow r=36 \mathrm{~cm}$

因此，

圆锥形沙堆的半径 $=36 \mathrm{~cm}$

沙堆的斜高 $l=\sqrt{R^{2}+H^{2}}$

$=\sqrt{(36)^{2}+(24)^{2}}$

$=\sqrt{1296+576}$

$=\sqrt{1872}$

$=\sqrt{144\times13}$

$=12\sqrt{13}\ cm$

沙堆的半径和斜高分别为 $36\ cm$ 和 $12\sqrt{13}\ cm$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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