平行四边形$ABCD$的对角线$AC$和$BD$相交于点$O$。一条经过$O$的直线与$AB$相交于点$P$，与$DC$相交于点$Q$。证明：$\triangle POA$的面积等于$\triangle QOC$的面积。

已知

$ABCD$是一个平行四边形，其对角线$AC$和$BD$相交于点$O$。一条经过$O$的直线与$AB$相交于点$P$，与$DC$相交于点$Q$。

要求

我们必须证明$\triangle POA$的面积等于$\triangle QOC$的面积。

解答

在$\triangle POA$和$\triangle QOC$中，

$OA = OC$ ($O$是$AC$的中点)

$\angle AOD = \angle COQ$ (对顶角)

$\angle APO = \angle CQO$ (内错角)

因此，根据AAS公理，

$\triangle POA \cong \triangle QOC$

这意味着，

$\triangle POA$的面积 = $\triangle QOC$的面积

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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