绘制直线  $x\ -\ y\ +\ 1\ =\ 0$  和  $3x\ +\ 2y\ -\ 12\ =\ 0$ 的图像。确定由这两条直线和 x 轴形成的三角形的顶点坐标，并对三角形区域进行阴影。计算这些直线和 x 轴所包围的面积。

已知

给定的方程为

$x-y+1=0$

$3x+2y-12=0$

要求

我们必须找到由给定的直线和 x 轴形成的三角形的顶点坐标。此外，我们必须计算所形成的三角形的面积。

解答

为了用图形表示上述方程，我们需要每个方程至少两个解。

对于方程 $x-y+1=0$，

$y=x+1$

如果 $x=-1$，则 $y=-1+1=0$

如果 $x=2$，则 $y=2+1=3$

对于方程 $3x+2y-12=0$，

$2y=12-3x$

$y=\frac{12-3x}{2}$

如果 $x=4$，则 $y=\frac{12-3(4)}{2}=\frac{12-12}{2}=0$

如果 $x=2$，则 $y=\frac{12-3(2)}{2}=\frac{12-6}{2}=\frac{6}{2}=3$

x 轴的方程为 $y=0$。

上述情况可以用图形表示如下

直线 AB、CD 和 AC 分别表示方程 $x-y+1=0$、$3x+2y-12=0$ 和 x 轴。

我们可以看到，直线 AB、CD 和 AC 两两相交的点是给定三角形的顶点。

因此，给定三角形的顶点为 $(-1,0), (2,3)$ 和 $(4,0)$。 

我们知道，

三角形的面积$=\frac{1}{2}bh$

在图中，三角形的高度是点 B 和 AC 之间的距离。

三角形的高度$=3$ 个单位。

三角形的底边$=1+4=5$ 个单位。

由给定直线和 x 轴形成的三角形的面积$=\frac{1}{2}\times3\times5$

$=\frac{15}{2}$ 平方单位。 

由给定直线和 x 轴包围的面积为 $7.5$ 平方单位。

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更新于: 2022 年 10 月 10 日

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