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法学研究在△ABC中，顶点A的坐标为(0,-1)，D(1,0)和E(0,1)分别是边AB和AC的中点。如果F是边BC的中点，求△DEF的面积。
已知
在△ABC中，顶点A的坐标为(0,-1)，D(1,0)和E(0,1)分别是边AB和AC的中点。
F是边BC的中点。
要求
我们必须求出△DEF的面积。
解答
设B(x₂，y₂), C(x₃，y₃)是△ABC的另外两个顶点，F(h,k)是BC的中点。
D是AB的中点。
这意味着：
\( (\frac{0+x_{2}}{2}, \frac{-1+y_2}{2})=(1,0) \)
比较后，我们得到：
\( \frac{x_2}{2}=1 \) 和 \( \frac{-1+y_2}{2}=0 \)
\( x_2=1(2) \) 和 \( -1+y_2=0(2) \)
\( x_2=2 \) 和 \( y_2=0+1=1 \)
类似地，
E是AC的中点。
\( (\frac{0+x_{3}}{2}, \frac{-1+y_3}{2})=(0,1) \)
比较后，我们得到：
\( \frac{x_3}{2}=0 \) 和 \( \frac{-1+y_3}{2}=1 \)
\( x_3=0(2) \) 和 \( -1+y_3=1(2) \)
\( x_3=0 \) 和 \( y_3=2+1=3 \)
F是BC的中点。
\( (\frac{x_3+x_{2}}{2}, \frac{y_3+y_2}{2})=(h,k) \)
比较后，我们得到：
\( \frac{2+0}{2}=h \) 和 \( \frac{1+3}{2}=k \)
\( 2(h)=2 \) 和 \( 2(k)=4 \)
\( h=1 \) 和 \( k=2 \)
我们知道：
顶点为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₃)的三角形的面积由下式给出：
三角形面积=$\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$
因此，
三角形DEF的面积=$\frac{1}{2}[1(1-2)+0(2-0)+1(0-1)]$
\( =\frac{1}{2}[1(-1)+0+1(-1)] \)
\( =\frac{1}{2}(-1-1) \)
\( =\frac{1}{2}(-2) \)
\( =1 \) 平方单位
△DEF的面积是1平方单位。
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