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法律研究证明点\( (1,7),(2,4) \)和\( (5,5) \)是等腰直角三角形的顶点。
已知
已知点为$(1, 7), (2, 4)$和$(5, 5)$。
要求
我们必须证明点\( (1,7),(2,4) \)和\( (5,5) \)是等腰直角三角形的顶点。
解
三角形\( \Delta \mathrm{ABC} \)的顶点为\( \mathrm{A}(1,7), \mathrm{B}(2,4) \)和\( \mathrm{C}(5,5) \)。
我们知道，
两点\( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \)和\( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)之间的距离为\( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。
因此，
\( \mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{(2-1)^{2}+(4-7)^{2}} \)
\( =\sqrt{(1)^{2}+(-3)^{2}} \)
\( =\sqrt{1+9} \)
\( =\sqrt{10} \)
类似地，
\( \mathrm{BC}=\sqrt{(5-2)^{2}+(5-4)^{2}} \)
\( =\sqrt{(3)^{2}+(1)^{2}} \)
\( =\sqrt{9+1}=\sqrt{10} \)
\( \mathrm{CA}=\sqrt{(5-1)^{2}+(5-7)^{2}} \)
\( =\sqrt{(4)^{2}+(-2)^{2}} \)
\( =\sqrt{16+4} \)
\( =\sqrt{20} \)
这里，
\( \mathrm{AB}=\mathrm{BC} \)且\( \mathrm{CA} \)是最长边。
\( \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=(\sqrt{10})^{2}+(\sqrt{10})^{2} \)
\( =10+10=20 \)
\( \mathrm{CA}^{2}=(\sqrt{20})^{2}=20 \)
\( \therefore \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{CA}^{2}=\mathrm{BC}^{2} \)
因此，\( \Delta \mathrm{ABC} \)是等腰直角三角形。
证毕。
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