一个四边形的四个顶点按顺序为(1,2),(−5,6),(7,−4) 和 (k,−2)。如果四边形的面积为零,求 k 的值。
已知
一个四边形的四个顶点按顺序为 (1,2),(−5,6),(7,−4) 和 (k,−2)。
四边形的面积为零。
要求
我们需要求出 k 的值。
解答
设 A(1,2),B(−5,6),C(7,−4) 和 D(k,−2) 为四边形 ABCD 的顶点。
连接 A 和 C,得到两个三角形 ABC 和 ADC。

这意味着:
四边形 ABCD 的面积 = 三角形 ABC 的面积 + 三角形 ADC 的面积。
我们知道:
顶点为 (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 的三角形的面积由下式给出:
三角形面积 Δ=12[x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)]
因此:
三角形 ABC 的面积 =12[1(6+4)+(−5)(−4−2)+7(2−6)]
=12[1(10)+(−5)(−6)+7(−4)]
=12[10+30−28]
=12×12
=6 平方单位。
三角形 ADC 的面积 =12[1(−4+2)+k(2+4)+7(−2−2)]
=12[1(−2)+k(6)+7(−4)]
=12[−2+6k−28]
=12(6k−30)
=3k−15 平方单位。
因此:
四边形 ABCD 的面积 =6+3k−15 平方单位。
0=3k−9
3k=9
k=93
k=3
k 的值为 3。
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