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法律研究三个等差数列前n项的和分别为S₁、S₂和S₃。每个数列的首项都是5，公差分别为2、4和6。证明S₁ + S₃ = 2S₂。
已知
三个等差数列前n项的和分别为S₁、S₂和S₃。每个数列的首项都是5，公差分别为2、4和6。
目标
我们需要证明S₁ + S₃ = 2S₂。
解答
我们知道：
\( S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \)
现在，对于S₁，当a=5且d=2时
\( S_{1}=\frac{n}{2}[2(5)+(n-1)(2)]=\frac{n}{2}[10+2n-2] \)
\( =\frac{n}{2}[2n+8] = n(n+4) \)
对于S₂，当a=5且d=4时
\( S_{2}=\frac{n}{2}[2(5)+(n-1)(4)] \)
\( =\frac{n}{2}[10+4n-4] \)
\( =\frac{n}{2}[4n+6] = n(2n+3) \)
对于S₃，当a=5且d=6时
\( S_{3}=\frac{n}{2}[2(5)+(n-1)(6)] \)
\( =\frac{n}{2}[10+6n-6]=\frac{n}{2}[6n+4] = n(3n+2) \)
\( \therefore S_{1}+S_{3}=n(n+4) + n(3n+2) \)
\( =n(n+4+3n+2)=n(4n+6) = 2n(2n+3) \)
\( \therefore S_{1}+S_{3}=2S_{2} \)
证毕。
更新于：2022年10月10日
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