三块金属立方体的棱长之比为$3: 4: 5$，将它们熔化后铸成一个对角线长为$12 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$的立方体。求这三个立方体的棱长。

已知

三块金属立方体的棱长之比为$3: 4: 5$，将它们熔化后铸成一个对角线长为$12 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$的立方体。

要求

求这三个立方体的棱长。

解答

设这三个立方体的棱长分别为 $3x, 4x$ 和 $5x$，熔化后形成的立方体的边长为 $a$。

熔化后立方体的体积 $= (3x)^3+ (4x)^3+ (5x)^3$

$= 27x^3+64x^3+125x^3$

$=216x^3$

因此，

$a^3= 216x^3$

$a^3 = (6x)^3$

$\Rightarrow a=6x$

立方体的对角线 $=\sqrt{3} a$

这意味着，

$\sqrt{3} a=12 \sqrt{3}$

$a=12$

$a=6x=12$

$x=2$

$\Rightarrow 3x=3(2)=6\ cm$

$\Rightarrow 4x=4(2)=8\ cm$

$\Rightarrow 5x=5(2)=10\ cm$

因此，这三个立方体的棱长分别为 $6 \mathrm{cm}, 8 \mathrm{~cm}$ 和 $10 \mathrm{~cm}$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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