判断以下二次方程是否具有两个不同的实根。请说明你的答案。
$x^{2}-3 x+4=0$

待办事项

我们必须说明给定的二次方程是否具有两个不同的实根。

解答

(i) $x^{2}-3 x+4=0$

与 $a x^{2}+b x+c=0$ 进行比较，我们得到：

$a =1, b=-3$ 和 $c=4$

判别式 $D=b^{2}-4 a c$

$=(-3)^{2}-4(1)(4)$

$=9-16$

$=-7<0$

$D<0$

因此，方程 $x^{2}-3 x+4=0$ 没有实根。

(ii) $2 x^{2}+x-1=0$

与 $a x^{2}+b x+c=0$ 进行比较，我们得到：

$a=2, b=1$ 和 $c=-1$

判别式 $D=b^{2}-4 a c$

$=(1)^{2}-4(2)(-1)$

$=1+8$

$=9>0$

$D>0$

因此，方程 $2 x^{2}+x-1=0$ 具有两个不同的实根。

(iii) $2 x^{2}-6 x+\frac{9}{2}=0$

与 $a x^{2}+b x+c=0$ 进行比较，我们得到：

$a =2, b=-6$ 和 $c=\frac{9}{2}$

判别式 $D=b^{2}-4 a c$

$=(-6)^{2}-4(2)(\frac{9}{2})$

$=36-36$

$=0$

$D=0$

因此，方程 $2 x^{2}-6 x+\frac{9}{2}=0$ 具有相等且为实数的根。

(iv) $3 x^{2}-4 x+1=0$

与 $a x^{2}+b x+c=0$ 进行比较，我们得到：

$a =3, b=-4$ 和 $c=1$

判别式 $D=b^{2}-4 a c$

$=(-4)^{2}-4(3)(1)$

$=16-12$

$=4>0$

$D>0$

因此，方程 $3x^{2}-4 x+1=0$ 具有两个不同的实根。

(v) $(x+4)^{2}-8 x=0$

$x^2+4^2+2(4)x-8x=0$

$x^2+8x-8x+16=0$

$x^2+16=0$

与 $a x^{2}+b x+c=0$ 进行比较，我们得到：

$a =1, b=0$ 和 $c=16$

判别式 $D=b^{2}-4 a c$

$=(0)^{2}-4(1)(16)$

$=0-64$

$=-64<0$

$D<0$

因此，方程 $(x+4)^{2}-8 x=0$ 没有实根。

(vi) $(x-\sqrt{2})^{2}-2(x+1)=0$

$x^2+(\sqrt2)^2-2(\sqrt2)x-2x-2=0$

$x^2+2-2\sqrt2x-2x-2=0$

$x^2-(2\sqrt2+2)x=0$

与 $a x^{2}+b x+c=0$ 进行比较，我们得到：

$a =1, b=2(\sqrt2+1)$ 和 $c=0$

判别式 $D=b^{2}-4 a c$

$=[2(\sqrt2+1)]^{2}-4(1)(0)$

$=4(\sqrt2+1)^2-4$

$=4[(\sqrt2+1)^2-1]>0$

$D>0$

因此，方程 $(x-\sqrt{2})^{2}-2(x+1)=0$ 具有两个不同的实根。

(vii) $\sqrt{2} x^{2}-\frac{3}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$

与 $a x^{2}+b x+c=0$ 进行比较，我们得到：

$a=\sqrt{2}, b=-\frac{3}{\sqrt{2}}$ 和 $c=\frac{1}{\sqrt{2}}$

因此，

判别式 $D=b^{2}-4 a c$

$=(-\frac{3}{\sqrt{2}})^{2}-4 \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}})$

$=\frac{9}{2}-4$

$=\frac{9-8}{2}$

$=\frac{1}{2}>0$

$D>0$

因此，方程 $\sqrt{2} x^{2}-\frac{3}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$ 具有两个不同的实根。

(viii) $x(1-x)-2=0$

$x^{2}-x+2=0$

与 $a x^{2}+b x+c=0$ 进行比较，我们得到：

$a=1, b=-1$ 和 $c=2$

因此，

判别式 $D=b^{2}-4 a c$

$=(-1)^{2}-4(1)(2)$

$=1-8$

$=-7<0$

$D<0$

因此，方程 $x(1-x)-2=0$ 没有实根。

(ix) $(x-1)(x+2)+2=0$

$x^{2}+x-2+2=0$

$x^{2}+x+0=0$

将上述方程与 $a x^{2}+b x+c-0$ 进行比较，我们得到：

$a=1, b=1$ 和 $c=0$

因此，

判别式 $D=b^{2}-4 a c$

$=1-4(1)(0)$

$=1>0$

$D>0$

因此，方程 $(x-1)(x+2)+2=0$ 具有两个不同的实根。

(x) $(x+1)(x-2)+x=0$

$x^{2}+x-2 x-2+x=0$

$x^{2}-2=0$

与 $a x^{2}+b x+c=0$ 进行比较，我们得到：

$a=1, b=0$ 和 $c=-2$

因此，

判别式 $D=b^{2}-4 a c$

$=(0)^{2}-4(1)(-2)$

$=0+8$

$=8>0$

因此，方程 $(x+1)(x-2)+x=0$ 具有两个不同的实根。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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