在下图中,从圆外一点 R 引两条切线 RQ 和 RP 到圆心为 O 的圆,如果∠PRQ=120°,则证明 OR=PR+RQ。
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已知:从圆外一点 R 引两条切线 RQ 和 RP 到圆心为 O 的圆,如果∠PRQ = 120°。
要求:证明 OR = PR + RQ。
解答
连接 OR。
已知连接圆心和外一点的直线是切线之间角的角平分线。
这里给出∠PRQ = 120°
∠PRO=∠QRO=120°/2 =60°
我们也知道,从圆外一点引出的切线的长度相等。
因此,PR=RQ。
连接 OP 和 OQ。
由于 OP 和 OQ 是从圆心 O 引出的半径,
OP⊥PR 和 OQ⊥RQ。
因此,△OPR 和 △OQR 是直角全等三角形。
∴ ∠POR=90°-∠PRO=90°-60°=30°
同样地,∠QOR=90°-60°=30°
sin(∠POR) =sin30° =1/2 =PR/OR
⇒ 1/2 =PR/OR
⇒ OR=2PR
⇒ OR=PR+QR
因此证明了 OR=PR+QR
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