模拟通信 - 信噪比计算
在本章中，让我们计算各种调制波的信噪比和品质因数，这些波在接收机处被解调。
信噪比
信噪比 (SNR) 是信号功率与噪声功率之比。信噪比值越高，接收到的输出质量就越高。
可以使用以下公式计算不同点的信噪比。
输入信噪比 = $\left ( SNR \right )_I= \frac{调制信号的平均功率}{输入噪声的平均功率}$
输出信噪比 = $\left ( SNR \right )_O= \frac{解调信号的平均功率}{输出噪声的平均功率}$
信道信噪比 = $\left ( SNR \right )_C= \frac{调制信号的平均功率}{消息带宽内噪声的平均功率}$
品质因数
输出信噪比与输入信噪比之比可以称为品质因数。用F表示。它描述了设备的性能。
$$F=\frac {\left ( SNR \right )_O}{\left ( SNR \right )_I}$$
接收机的品质因数为
$$F=\frac {\left ( SNR \right )_O}{\left ( SNR \right )_C}$$
这是因为对于接收机来说，信道是输入。
AM 系统中的信噪比计算
考虑以下 AM 系统的接收机模型来分析噪声。
我们知道调幅 (AM) 波为
$$s\left ( t \right )=A_c\left [ 1+k_am\left ( t \right ) \right ] \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )$$
$$\Rightarrow s\left ( t \right )=A_c \cos \left ( 2 \pi f_ct \right )+A_ck_am\left ( t \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )$$
AM 波的平均功率为
$$P_s=\left ( \frac{A_c}{\sqrt{2}} \right )^2+\left ( \frac{A_ck_am\left ( t \right )}{\sqrt{2}} \right )^2=\frac{{A_{c}}^{2}}{2}+\frac{{A_{c}}^{2}{k_{a}}^{2}P}{2}$$
$$\Rightarrow P_s=\frac{{A_{c}}^{2}\left ( 1+{k_{a}}^{2}P \right )}{2}$$
消息带宽内噪声的平均功率为
$$P_{nc}=WN_0$$
将这些值代入信道信噪比公式
$$\left ( SNR \right )_{C,AM}=\frac{AM 波的平均功率}{消息带宽内噪声的平均功率}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR \right )_{C,AM}=\frac{{A_{c}}^{2}\left ( 1+ {k_{a}}^{2}\right )P}{2WN_0}$$
其中，
P 是消息信号的功率=$\frac{{A_{m}}^{2}}{2}$
W 是消息带宽
假设带通噪声与上述图中所示的信道中的 AM 波混合。这种组合应用于 AM 解调器的输入。因此，AM 解调器的输入为。
$$v\left ( t \right )=s\left ( t \right )+n\left ( t \right )$$
$\Rightarrow v\left ( t \right )=A_c\left [ 1+k_am\left ( t \right ) \right ] \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )+$
$\left [ n_1\left ( t \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right ) - n_Q\left ( t \right ) \sin \left ( 2 \pi f_ct \right )\right ]$
$\Rightarrow v\left ( t \right )=\left [ A_c+A_ck_am\left ( t \right )+n_1\left ( t \right ) \right ] \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )-n_Q\left ( t \right ) \sin\left ( 2 \pi f_ct \right )$
其中 $n_I \left ( t \right )$ 和 $n_Q \left ( t \right )$ 是噪声的同相和正交相位分量。
AM 解调器的输出就是上述信号的包络。
$$d\left ( t \right )=\sqrt{\left [ A_c+A_cK_am\left ( t \right )+n_I\left ( t \right ) \right ]^2+\left ( n_Q\left ( t \right ) \right )^2}$$
$$\Rightarrow d\left ( t \right )\approx A_c+A_ck_am\left ( t \right )+n_1\left ( t \right )$$
解调信号的平均功率为
$$P_m=\left ( \frac{A_ck_am\left ( t \right )}{\sqrt{2}} \right )^2=\frac{{A_{c}}^{2}{k_{a}}^{2}P}{2}$$
输出噪声的平均功率为
$$P_no=WN_0$$
将这些值代入输出信噪比公式。
$$\left ( SNR \right )_{O,AM}= \frac {解调信号的平均功率 }{输出噪声的平均功率}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR \right )_{O,AM}=\frac{{A_{c}}^{2}{k_{a}}^{2}P}{2WN_0}$$
将这些值代入 AM 接收机的品质因数公式。
$$F=\frac{\left ( SNR \right )_{O,AM}}{\left ( SNR \right )_{C,AM}}$$
$$\Rightarrow F=\left ( \frac{{A_{c}^{2}}{k_{a}^{2}}P}{2WN_0} \right )/\left ( \frac{{A_{c}}^{2}\left ( 1+ {k_{a}}^{2}\right )P}{2WN_0} \right )$$
$$\Rightarrow F=\frac{{K_{a}}^{2}P}{1+{K_{a}}^{2}P}$$
因此，AM 接收机的品质因数小于 1。
DSBSC 系统中的信噪比计算
考虑以下 DSBSC 系统的接收机模型来分析噪声。
我们知道 DSBSC 调制波为
$$s\left ( t \right )=A_cm\left ( t \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )$$
DSBSC 调制波的平均功率为
$$P_s=\left ( \frac{A_cm\left ( t \right )}{\sqrt{2}} \right )^2=\frac{{A_{c}}^{2}P}{2}$$
消息带宽内噪声的平均功率为
$$P_{nc}=WN_0$$
将这些值代入信道信噪比公式。
$$\left ( SNR \right )_{C,DSBSC}=\frac{DSBSC 调制波的平均功率}{消息带宽内噪声的平均功率}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR \right )_{C,DSBSC}=\frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0}$$
假设带通噪声与上述图中所示的信道中的 DSBSC 调制波混合。这种组合作为乘积调制器的一个输入。因此，此乘积调制器的输入为
$$v_1\left ( t \right )=s\left ( t \right )+n\left ( t \right )$$
$$\Rightarrow v_1\left ( t \right )=A_cm\left ( t \right ) \cos \left ( 2 \pi f_ct \right )+\left [ n_I\left ( t \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right ) - n_Q\left ( t \right ) \sin \left ( 2 \pi f_ct \right )\right ]$$
$$\Rightarrow v_1\left ( t \right )=\left [ A_cm \left ( t \right ) +n_I\left ( t \right ) \right ] \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )-n_Q\left ( t \right ) \sin\left ( 2 \pi f_ct \right )$$
本振产生载波信号 $c\left ( t \right )= \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )。此信号作为乘积调制器的另一个输入。因此，乘积调制器产生一个输出，该输出是 $v_1\left ( t \right )$ 和 $c\left ( t \right )$ 的乘积。
$$v_2\left ( t \right )= v_1\left ( t \right )c\left ( t \right )$$
将 $v_1\left ( t \right )$ 和 $c\left ( t \right )$ 的值代入上述等式。
$$\Rightarrow v_2\left ( t \right )=\left ( \left [ A_cm\left ( t \right ) + n_I\left ( t \right )\right ] \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )- n_Q\left ( t \right ) \sin\left ( 2 \pi f_ct \right ) \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )$$
$$\Rightarrow v_2\left ( t \right )=\left [ A_c m\left ( t \right )+n_I\left ( t \right ) \right ] \cos^2\left ( 2 \pi f_ct \right )-n_Q\left ( t \right ) \sin\left ( 2 \pi f_ct \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )$$
$$\Rightarrow v_2\left ( t \right )=\left [ A_c m\left ( t \right )+n_I\left ( t \right ) \right ] \left ( \frac{1+ \cos\left ( 4 \pi f_ct \right )}{2} \right ) -n_Q\left ( t \right )\frac{ \sin\left ( 4 \pi f_ct \right )}{2}$$
当上述信号作为低通滤波器的输入时，我们将得到低通滤波器的输出为
$$d\left ( t \right )=\frac{\left [ A_c m\left ( t \right )+n_I\left ( t \right ) \right ]}{2}$$
解调信号的平均功率为
$$P_m=\left ( \frac{A_cm\left ( t \right )}{2\sqrt{2}} \right )^2=\frac{{A_{c}}^{2}P}{8}$$
输出噪声的平均功率为
$$P_{no}=\frac{WN_0}{4}$$
将这些值代入输出信噪比公式。
$$\left ( SNR \right )_{O,DSBSC}= \frac {解调信号的平均功率 }{输出噪声的平均功率}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR \right )_{O,DSBSC}=\left ( \frac{{A_{c}}^{2}P}{8} \right )/ \left ( \frac{WN_0}{4} \right )=\frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0}$$
将这些值代入 DSBSC 接收机的品质因数公式。
$$F=\frac{\left ( SNR \right )_{O,DSBSC}}{\left ( SNR \right )_{C,DSBSC}}$$
$$\Rightarrow F= \left ( \frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0} \right )/ \left ( \frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0} \right )$$
$$\Rightarrow F= 1$$
因此，DSBSC 接收机的品质因数为 1。
SSBSC 系统中的信噪比计算
考虑以下 SSBSC 系统的接收机模型来分析噪声。
我们知道具有下边带的 SSBSC 调制波为
$$s\left ( t \right )=\frac{A_mA_c}{2} \cos \left [ 2 \pi\left ( f_c-f_m \right )t \right ]$$
SSBSC 调制波的平均功率为
$$P_s=\left ( \frac{A_mA_c}{2\sqrt{2}} \right )^2=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8}$$
消息带宽内噪声的平均功率为
$$P_{nc}=WN_0$$
将这些值代入信道信噪比公式。
$$\left ( SNR \right )_{C,SSBSC}= \frac {SSBSC 调制波的平均功率}{消息带宽内噪声的平均功率}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR \right )_{C,SSBSC}=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0}$$
假设带通噪声与上述图中所示的信道中的 SSBSC 调制波混合。这种组合作为乘积调制器的一个输入。因此，此乘积调制器的输入为
$$v_1\left ( t \right )=s\left ( t \right )+n\left ( t \right )$$
$$v_1\left ( t \right )=\frac{A_mA_c}{2} \cos\left [ 2 \pi \left ( f_c-f_m \right )t \right ] + n_I\left ( t \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )-n_Q\left ( t \right ) \sin \left ( 2 \pi f_ct \right )$$
本振产生载波信号 $c\left ( t \right )= \cos \left ( 2 \pi f_ct \right ) 。此信号作为乘积调制器的另一个输入。因此，乘积调制器产生一个输出，该输出是 $v_1\left ( t \right )$ 和 $c\left ( t \right )$ 的乘积。
$$v_2\left ( t \right )=v_1\left ( t \right )c \left ( t \right )$$
将 $v_1\left ( t \right )$ 和 $ c\left ( t \right )$ 的值代入上述等式。
$\Rightarrow v_2(t)= (\frac{A_mA_c}{2} \cos[ 2 \pi ( f_c-f_m )t ] + n_I ( t ) \cos ( 2 \pi f_ct )-$
$n_Q( t ) \sin ( 2 \pi f_ct ) )\cos ( 2 \pi f_ct )$
$\Rightarrow v_2\left ( t \right )=\frac{A_mA_c}{2} \cos\left [ 2 \pi \left ( f_c-f_m \right )t \right ] \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )+$
$n_I\left ( t \right ) \cos^2\left ( 2 \pi f_ct \right )-n_Q\left ( t \right ) \sin\left ( 2 \pi f_ct \right ) \cos\left ( 2 \pi f_ct \right )$
$\Rightarrow v_2\left ( t \right )=\frac{A_mA_c}{4} \left \{ \cos\left [ 2 \pi\left ( 2f_c-f_m \right )t \right ] + \cos \left ( 2 \pi f_mt \right )\right \}+$
$n_I\left ( t \right )\left ( \frac{1+ \cos\left ( 4 \pi f_ct \right )}{2} \right )- n_Q\left ( t \right )\frac{\sin \left ( 4 \pi f_ct \right )}{2}$
当上述信号作为低通滤波器的输入时，我们将得到低通滤波器的输出为
$$d\left ( t \right )=\frac{A_mA_c}{2} \cos\left ( 2 \pi f_mt \right )+\frac{n_I\left ( t \right )}{2}$$
解调信号的平均功率为
$$P_m=\left ( \frac{A_mA_c}{4\sqrt{2}} \right )^2=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{32}$$
输出噪声的平均功率为
$$P_{no}=\frac{WN_0}{4}$$
将这些值代入**输出信噪比**公式
$$\left ( SNR \right )_{O,SSBSC}= \frac {解调信号的平均功率}{输出噪声的平均功率}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR \right )_{O,SSBSC}= \left ( \frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{32} \right )/\left ( \frac{WN_0}{4} \right )=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0}$$
将这些值代入**品质因数**的SSBSC接收机公式
$$F=\frac{\left ( SNR \right )_{O,SSBSC}}{\left ( SNR \right )_{C,SSBSC}}$$
$$F=\left ( \frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0} \right )/\left ( \frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0} \right )$$
$$F=1$$
因此，SSBSC接收机的品质因数为1。