傅里叶级数和变换

在上一篇关于频域分析的教程中，我们讨论了傅里叶级数和傅里叶变换用于将信号转换为频域。

傅里叶

傅里叶是1822年的数学家。他提出了傅里叶级数和傅里叶变换，用于将信号转换为频域。

傅里叶级数简单地说，周期信号可以表示为正弦和余弦的和，并乘以一定的权重。它进一步指出，周期信号可以分解成具有以下属性的更进一步的信号。

它可以用图示的方式表示为

在上图中，最后一个信号实际上是所有上面信号的总和。这是傅里叶的想法。

正如我们在频域中看到的，为了在频域中处理图像，我们需要首先使用它将其转换为频域，并且我们必须取输出的逆变换以将其转换回空间域。这就是为什么傅里叶级数和傅里叶变换都有两个公式。一个用于转换，另一个用于将其转换回空间域。

傅里叶级数可以用这个公式表示。

逆变换可以通过这个公式计算。

傅里叶变换简单地说，曲线下面积有限的非周期信号也可以表示为正弦和余弦的积分，并乘以一定的权重。

傅里叶变换有很多广泛的应用，包括图像压缩（例如JPEG压缩）、滤波和图像分析。

尽管傅里叶级数和傅里叶变换都是由傅里叶提出的，但它们之间的区别在于傅里叶级数应用于周期信号，而傅里叶变换应用于非周期信号。

现在问题是，哪一个应用于图像，傅里叶级数还是傅里叶变换。这个问题的答案在于图像的本质。图像是非周期的。由于图像是非周期的，因此使用傅里叶变换将其转换为频域。

由于我们正在处理图像，事实上是数字图像，因此对于数字图像，我们将使用离散傅里叶变换。

考虑上面正弦波的傅里叶项。它包含三件事。

空间频率与图像的亮度直接相关。正弦波的幅度与对比度直接相关。对比度是最大和最小像素强度之间的差异。相位包含颜色信息。

二维离散傅里叶变换的公式如下所示。

离散傅里叶变换实际上是傅里叶变换的采样，因此它包含一些表示图像的样本。在上式中，f(x,y)表示图像，F(u,v)表示离散傅里叶变换。二维离散傅里叶逆变换的公式如下所示。

离散傅里叶逆变换将傅里叶变换转换回图像。

现在我们将看到一个图像，我们将计算它的FFT幅度谱，然后计算移位的FFT幅度谱，然后取该移位谱的对数。

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