傅里叶级数和变换



在上一篇关于频域分析的教程中,我们讨论了傅里叶级数和傅里叶变换用于将信号转换为频域。

傅里叶

傅里叶是1822年的数学家。他提出了傅里叶级数和傅里叶变换,用于将信号转换为频域。

傅里叶级数

傅里叶级数简单地说,周期信号可以表示为正弦和余弦的和,并乘以一定的权重。它进一步指出,周期信号可以分解成具有以下属性的更进一步的信号。

  • 这些信号是正弦和余弦
  • 这些信号彼此是谐波关系

它可以用图示的方式表示为

Fourier Transform

在上图中,最后一个信号实际上是所有上面信号的总和。这是傅里叶的想法。

如何计算

正如我们在频域中看到的,为了在频域中处理图像,我们需要首先使用它将其转换为频域,并且我们必须取输出的逆变换以将其转换回空间域。这就是为什么傅里叶级数和傅里叶变换都有两个公式。一个用于转换,另一个用于将其转换回空间域。

傅里叶级数

傅里叶级数可以用这个公式表示。

Fourier Transform

逆变换可以通过这个公式计算。

Fourier Transform

傅里叶变换

傅里叶变换简单地说,曲线下面积有限的非周期信号也可以表示为正弦和余弦的积分,并乘以一定的权重。

傅里叶变换有很多广泛的应用,包括图像压缩(例如JPEG压缩)、滤波和图像分析。

傅里叶级数和变换的区别

尽管傅里叶级数和傅里叶变换都是由傅里叶提出的,但它们之间的区别在于傅里叶级数应用于周期信号,而傅里叶变换应用于非周期信号。

哪一个应用于图像

现在问题是,哪一个应用于图像,傅里叶级数还是傅里叶变换。这个问题的答案在于图像的本质。图像是非周期的。由于图像是非周期的,因此使用傅里叶变换将其转换为频域。

离散傅里叶变换

由于我们正在处理图像,事实上是数字图像,因此对于数字图像,我们将使用离散傅里叶变换。

Fourier Transform

考虑上面正弦波的傅里叶项。它包含三件事。

  • 空间频率
  • 幅度
  • 相位

空间频率与图像的亮度直接相关。正弦波的幅度与对比度直接相关。对比度是最大和最小像素强度之间的差异。相位包含颜色信息。

二维离散傅里叶变换的公式如下所示。

Fourier Transform

离散傅里叶变换实际上是傅里叶变换的采样,因此它包含一些表示图像的样本。在上式中,f(x,y)表示图像,F(u,v)表示离散傅里叶变换。二维离散傅里叶逆变换的公式如下所示。

Fourier Transform

离散傅里叶逆变换将傅里叶变换转换回图像。

考虑这个信号

现在我们将看到一个图像,我们将计算它的FFT幅度谱,然后计算移位的FFT幅度谱,然后取该移位谱的对数。

原始图像

Fourier Transform

傅里叶变换幅度谱

Fourier Transform

移位的傅里叶变换

Fourier Transform

移位的幅度谱

Fourier Transform
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