宇宙学 - 宇宙年龄

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如前几章所述，哈勃参数的时间演化由以下公式给出：

$$H(z) = H_0E(z)^{\frac{1}{2}}$$

其中z是红移，E(Z)是：

$$E(z) \equiv \Omega_{m,0}(1+z)^3 + \Omega(1+z)^4 +\Omega_{k,0}(1+z)^2 + \Omega^{\wedge,0}$$

如果宇宙的膨胀是恒定的，那么宇宙的真实年龄如下所示：

$$t_H = \frac{1}{H_0}$$

如果它是物质主导的宇宙，即爱因斯坦-德西特宇宙，那么宇宙的真实年龄由以下公式给出：

$$t_H = \frac{2}{3H_0}$$

尺度和红移由以下公式定义：

$$a=\frac{a_0}{1+z}$$

宇宙年龄根据宇宙学参数推导如下。

哈勃参数由以下公式给出：

$$H = \frac{\frac{da}{dt}}{a}$$

求导，我们得到：

$$da = \frac{-dz}{(1+z)^2}$$

其中a₀ = 1（尺度因子的当前值）

$$\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t} = \frac{-1}{(1+z)^2}$$

$$\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}$$

$$H = \frac{\dot{a}}{a} = \frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} \frac{1+z}{1}$$

$$\frac{\dot{a}}{a} = \frac{-1}{1+z}\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}\frac{1}{1}$$

$$H(z) = H_0E(z)^{\frac{1}{2}}$$

$$dt = \frac{-dz}{H_0E(z)^{\frac{1}{2}}(1+z)}$$

如果我们想找到宇宙在任何给定红移‘z’下的年龄，那么：

$$t(z) = \frac{1}{H_0}\int_{\infty}^{z_1} \frac{-1}{E(z)^{\frac{1}{2}}(1+z)}dz$$

其中k是曲率密度参数，并且：

$$E(z) \equiv \Omega_{m,0}(1+z)^3 + \Omega_{rad,0}(1+z)^4 + \Omega_{k,0}(1+z)^2 + \Omega_{\wedge,0}$$

要计算宇宙的当前年龄，取z₁ = 0。

$$t(z=0) = t_{age} = t_0 = \frac{1}{H_0}\int_{\infty}^{z_1} \frac{-1}{E(z)^{\frac{1}{2}}(1+z)}dz$$

对于爱因斯坦-德西特模型，即$\Omega_m = 1$，$\Omega_{rad} = 0$，$\Omega_k = 0$，$\Omega_\wedge = 0$，宇宙年龄的方程变为：

$$t_{age} = \frac{1}{H_0}\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+z)^{\frac{5}{2}}}dz$$

解积分后，我们得到：

$$t_H = \frac{2}{3H_0}$$

夜空就像一台宇宙时间机器。每当我们观察遥远的行星、恒星或星系时，我们看到的都是它在数小时、数百年甚至数千年前的样子。这是因为光以有限的速度（光速）传播，并且考虑到宇宙中的巨大距离，我们看到的不是物体现在的样子，而是它们在发出光时的样子。我们在地球上探测到光线与光线最初由光源发出之间的时间间隔称为回溯时间 (t_L(z₁))。

因此，回溯时间由以下公式给出：

$$t_1(z_1) = t_0-t(z_1)$$

爱因斯坦-德西特宇宙的回溯时间为：

$$t_L(z) = \frac{2}{3H_0}\left [ 1- \frac{1}{(1+z)^{\frac{3}{2}}} \right ]$$

要点回顾

• 每当我们观察遥远的行星、恒星或星系时，我们看到的都是它在数小时、数百年甚至数千年前的样子。

• 我们在地球上探测到光线与光线最初由光源发出之间的时间间隔称为回溯时间。