宇宙学 - 物质主导宇宙

在本章中，我们将讨论与物质主导宇宙相关的弗里德曼方程的解。在宇宙学中，因为我们在大尺度上观察一切，太阳系、星系，所有的一切都像尘埃粒子（这就是我们用肉眼看到的样子），我们可以称之为尘埃宇宙或仅物质宇宙。

在流体方程中，

$$\dot{\rho} = -3\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )\rho -3\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )\left ( \frac{P}{c^2} \right )$$

我们可以看到有一个压力项。对于尘埃宇宙，P = 0，因为物质的能量密度将大于辐射压力，并且物质没有以相对论速度运动。

因此，流体方程将变为，

$$\dot{\rho} = -3\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )\rho$$

$$\Rightarrow \dot{\rho}a + 3\dot{a}\rho = 0$$

$$\Rightarrow \frac{1}{a^3}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(a^3 \rho) = 0$$

$$\Rightarrow \rho a^3 =\: 常数$$

$$\Rightarrow \rho \propto \frac{1}{a^3}$$

这个方程中没有反直觉的地方，因为密度应该按$a^{-3}$缩放，因为体积按$a^3$增加。

从最后一个关系，我们可以说，

$$\frac{\rho (t)}{\rho_0} = \left [ \frac{a_0}{a(t)} \right ]^3$$

对于现今的宇宙，a，等于a₀，应该为1。所以，

$$\rho(t) = \frac{\rho_0}{a^3}$$

在物质主导的平坦宇宙中，k = 0。所以，弗里德曼方程将变为，

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8 \pi G\rho}{3}$$

$$\dot{a}^2 = \frac{8\pi G \rho a^2}{3}$$

通过求解这个方程，我们将得到，

$$a \propto t^{2/3}$$

$$\frac{a(t)}{a_0} = \left ( \frac{t}{t_0} \right )^{2/3}$$

$$a(t) = \left( \frac{t}{t_0} \right )^{2/3}$$

这意味着宇宙将持续以减小的速率膨胀。下图显示了尘埃宇宙的膨胀。

ρ如何随时间变化？

看一下下面的方程 -

$$\frac{\rho(t)}{\rho_0} = \left ( \frac{t_0}{t} \right )^2$$

我们知道比例因子随时间变化为$t^{2/3}$。所以，

$$a(t) = \left ( \frac{t}{t_0} \right )^{2/3}$$

对它求导，我们将得到，

$$\frac{(da)}{dt} = \dot{a} = \frac{2}{3} \left ( \frac{t^{-1/3}}{t_0} \right )$$

我们知道哈勃常数是，

$$H(t) = \frac{\dot{a}}{a} = \frac{2}{3t}$$

这是爱因斯坦-德西特宇宙的方程。如果我们想计算宇宙目前的年龄，那么，

$$t_0 = t_{年龄} = \frac{2}{3H_0}$$

在代入现今宇宙的$H_0$值后，我们将得到宇宙年龄的值为90亿年。在我们自己的银河系中，有很多球状星团的年龄超过了这个值。

这就是关于尘埃宇宙的所有内容。现在，如果您假设宇宙是由辐射而不是物质主导的，那么辐射能量密度将按$a^{-4}$而不是$a^{-3}$变化。我们将在下一章中详细了解这一点。

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