宇宙学 - 哈勃参数与密度参数

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本章将讨论密度参数和哈勃参数。

哈勃参数

哈勃参数定义如下：

$$H(t) \equiv \frac{da/dt}{a}$$

它衡量比例因子变化的速度。更一般地，比例因子的演化由弗里德曼方程决定。

$$H^2(t) \equiv \left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\wedge}{3}$$

其中，∧是宇宙常数。

对于平坦宇宙，k = 0，因此弗里德曼方程变为：

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho + \frac{\wedge}{3}$$

对于物质主导的宇宙，密度变化如下：

$$\frac{\rho_m}{\rho_{m,0}} = \left ( \frac{a_0}{a} \right )^3 \Rightarrow \rho_m = \rho_{m,0}a^{-3}$$

对于辐射主导的宇宙，密度变化如下：

$$\frac{\rho_{rad}}{\rho_{rad,0}} = \left ( \frac{a_0}{a} \right )^4 \Rightarrow \rho_{rad} = \rho_{rad,0}a^{-4}$$

目前，我们生活在一个物质主导的宇宙中。因此，考虑$\rho \equiv \rho_m$，我们得到：

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho_{m,0}a^{-3} + \frac{\wedge}{3}$$

宇宙常数和暗能量密度之间的关系如下：

$$\rho_\wedge = \frac{\wedge}{8 \pi G} \Rightarrow \wedge = 8\pi G\rho_\wedge$$

由此，我们得到：

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho_{m,0}a^{-3} + \frac{8 \pi G}{3} \rho_\wedge$$

此外，临界密度和哈勃常数之间的关系如下：

$$\rho_{c,0} = \frac{3H_0^2}{8 \pi G} \Rightarrow \frac{8\pi G}{3} = \frac{H_0^2}{\rho_{c,0}}$$

由此，我们得到：

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{H_0^2}{\rho_{c,0}}\rho_{m,0}a^{-3} + \frac{H_0^2}{\rho_{c,0}}\rho_\wedge$$

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = H_0^2\Omega_{m,0}a^{-3} + H_0^2\Omega_{\wedge,0}$$

$$(\dot{a})^2 = H_0^2\Omega_{m,0}a^{-1} + H_0^2\Omega_{\wedge,0}a^2$$

$$\left ( \frac{\dot{a}}{H_0} \right )^2 = \Omega_{m,0}\frac{1}{a} + \Omega_{\wedge,0}a^2$$

$$\left ( \frac{\dot{a}}{H_0} \right )^2 = \Omega_{m,0}(1+z) + \Omega_{\wedge,0}\frac{1}{(1+z)^2}$$

$$\left ( \frac{\dot{a}}{H_0} \right)^2 (1+z)^2 = \Omega_{m,0}(1+z)^3 + \Omega_{\wedge,0}$$

$$\left ( \frac{\dot{a}}{H_0} \right)^2 \frac{1}{a^2} = \Omega_{m,0}(1 + z)^3 + \Omega_{\wedge,0}$$

$$\left ( \frac{H(z)}{H_0} \right )^2 = \Omega_{m,0}(1+z)^3 + \Omega_{\wedge,0}$$

这里，$H(z)$是红移相关的哈勃参数。这可以修改为包含辐射密度参数$\Omega_{rad}$和曲率密度参数$\Omega_k$。修改后的方程为：

$$\left ( \frac{H(z)}{H_0} \right )^2 = \Omega_{m,0}(1+z)^3 + \Omega_{rad,0}(1+z)^4+\Omega_{k,0}(1+z)^2+\Omega_{\wedge,0}$$

$$或者，\: \left ( \frac{H(z)}{H_0} \right)^2 = E(z)$$

$$或者，\: H(z) = H_0E(z)^{\frac{1}{2}}$$

其中，

$$E(z) \equiv \Omega_{m,0}(1 + z)^3 + \Omega_{rad,0}(1+z)^4 + \Omega_{k,0}(1+z)^2+\Omega_{\wedge,0}$$

这表明哈勃参数随时间变化。

对于爱因斯坦-德西特宇宙，$\Omega_m = 1, \Omega_\wedge = 0, k = 0$。

代入这些值，我们得到：

$$H(z) = H_0(1+z)^{\frac{3}{2}}$$

这显示了爱因斯坦-德西特宇宙中哈勃参数的时间演化。

密度参数

密度参数$\Omega$定义为实际（或观测）密度$\rho$与临界密度$\rho_c$之比。对于任何量$x$，对应的密度参数$\Omega_x$可以用数学表达式表示为：

$$\Omega_x = \frac{\rho_x}{\rho_c}$$

对于正在考虑的不同量，我们可以定义以下密度参数。

其中符号具有其通常的含义。

要点

• 比例因子的演化由弗里德曼方程决定。

• H(z)是红移相关的哈勃参数。

• 哈勃参数随时间变化。

• 密度参数定义为实际（或观测）密度与临界密度之比。