宇宙学 - 辐射主导宇宙

本章将讨论与辐射主导宇宙相关的弗里德曼方程的解。首先，我们将比较物质的能量密度与辐射的能量密度。这将使我们能够判断我们的宇宙是物质主导的还是辐射主导的。

辐射的能量密度

目前宇宙中普遍存在的辐射很少能归因于恒星源，它主要源于残余的CMB（宇宙微波背景辐射）。

辐射的能量密度，$\epsilon_{\gamma,0}$，可以表示如下：

$$\epsilon_{\gamma,0} = aT_0^4$$

这里，a是辐射常数，其表达式为$(8\pi^5k_B^4)/(15h^3c^2)$，等于a = 7.5657 × 10⁻¹⁵erg\: cm⁻³ K⁻⁴。我们这里考虑的温度T0对应于CMB的相应黑体温度。

代入结果，我们有：

$$\epsilon_{\gamma,0} = aT_0^4 = 4 \times 10^{-13}erg\: cm^{-3}$$

在下述计算中，我们假设在一个平坦的宇宙中工作，K = 0。我们将物质的能量密度视为$\epsilon = \rho c^2$。我们考虑以下内容：

$$\rho_{m,0}c^2 = 0.3\rho_{c,0}c^2 = 0.3 \times \frac{3H_0^2}{8\pi G} \times c^2$$

$$\rho_{m,0}c^2 \simeq 2 \times 10^{-8} erg \:cm^{-3}$$

$$\rho_{b,0}c^2 = 0.03\rho_{c,0}c^2 = 0.03 \times \frac{3H_0^2}{8\pi G} \times c^2$$

$$\rho_{b,0}c^2 \simeq 2 \times 10^{-9} erg\: cm^{-3}$$

因此，从上述计算可以看出，我们生活在一个物质主导的宇宙中。这可以从CMB非常冷的事实得到支持。当我们回溯时间时，CMB温度会升高，我们可以得出结论，可能存在一个宇宙由辐射主导的时期。

流体方程告诉我们：

$$\dot{\rho} + 3\frac{\dot{a}}{a}\left ( \rho + \frac{P}{c^2} \right ) = 0$$

如果我们考虑一个尘埃宇宙，则P = 0。撇开之前的结论，我们认为宇宙是由辐射主导的。

$$\dot{\rho}_{rad} + 3 \frac{\dot{a}}{a}\left ( \rho_{rad} + \frac{P}{c^2} \right ) = 0$$

利用压力关系$P_{rad} = \rho c^{2/3}$，我们有：

$$\dot{\rho}_{rad} + 3 \frac{\dot{a}}{a}\left ( \rho_{rad} + \frac{\rho_{rad}}{3} \right ) = 0$$

$$\dot{\rho}_{rad} + 4\frac{\dot{a}}{a}(\rho_{rad}) = 0$$

进一步简化，我们有：

$$\frac{1}{a^4}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\rho_{rad}a^4) = 0$$

$$\rho_{rad}a^4 =\: constant$$

$$\rho_{rad} \propto \frac{1}{a^4}$$

上述结果表明a与ρ的-4次方反比变化。

这可以从物理上解释为随着体积的增加，$a^{-3}$来自于体积变化。剩余的$a^{-1}$可以被视为光子由于宇宙空间膨胀而损失的能量（宇宙红移1 + z = a^-1）。

下图显示了物质和辐射密度随时间的变化。

对于一个平坦的辐射主导宇宙，弗里德曼方程如下：

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G\rho}{3}$$

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\frac{\rho_0}{a^4}$$

简化并应用微分方程的解，我们有：

$$(\dot{a})^2 = \frac{8\pi G\rho_0}{3a^2}$$

$$\Rightarrow a(t) \propto t^{\frac{1}{2}}$$

因此，我们有：

$$a(t) = a_0 \left ( \frac{t}{t_0} \right )^{\frac{1}{2}}$$

从上述方程可以看出，比例因子的增长率小于尘埃宇宙。

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