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哈勃参数与比例因子
本章将讨论哈勃参数和比例因子。
前提条件 - 宇宙学红移,宇宙学原理。
假设 - 宇宙是均匀且各向同性的。
哈勃常数与比例因子的分数变化率
在本节中,我们将哈勃常数与比例因子的分数变化率联系起来。
我们可以用以下方式写出速度并简化。
v=drpdt
=d[a(t)rc]dt
v=dadt∗1a∗(arc)
v=dadt∗1a∗rp
这里,v是退行速度,a是比例因子,rp是星系间的固有距离。
哈勃经验公式的形式为:
v=H∗rp
因此,比较上述两个方程,我们得到:
哈勃参数 = 比例因子的分数变化率
H=dadt∗1a
注意 - 这不是一个常数,因为比例因子是时间的函数。因此它被称为哈勃参数而不是哈勃常数。
经验上我们写成:
H=VD
因此,从这个方程中,我们可以推断,由于D在增加而V是一个常数,那么H随着时间的推移和宇宙的膨胀而减小。
结合罗伯逊-沃克模型的弗里德曼方程
在本节中,我们将了解如何结合罗伯逊-沃克模型使用弗里德曼方程。为了理解这一点,让我们以以下图像为例,该图像中有一个距离为rp的测试质量,距离质量为M的天体。

考虑到上图,我们可以将力表示为:
F=G∗M∗mr2p
这里,G是万有引力常数,ρ是可观测宇宙内的物质密度。
现在,假设球体内质量密度均匀,我们可以写成:
M=43∗π∗r3p∗ρ
将这些代入我们的力方程,我们得到:
F=43∗π∗G∗rp∗ρ∗m
因此,我们可以将质量m的势能和动能写成:
V=−43∗π∗G∗r2p∗m∗ρ
K.E=12∗m∗dr2pdt
使用维里定理:
U=K.E+V
U=12∗m∗(drpdt)2−43∗π∗G∗r2p∗m∗ρ
但是这里,rp=arc。所以我们得到:
U=12∗m∗(dadt)2r2c−43∗π∗G∗r2p∗m∗ρ
进一步简化后,我们得到弗里德曼方程:
(˙aa)2=8π3∗G∗ρ+2Um∗r2c∗a2
这里U是一个常数。我们还注意到,我们目前生活的宇宙是由物质主导的,而辐射能量密度非常低。
要点
哈勃参数随着时间的推移和宇宙的膨胀而减小。
我们目前生活的宇宙是由物质主导的,辐射能量密度非常低。