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哈勃参数与比例因子



本章将讨论哈勃参数和比例因子。

  • 前提条件 - 宇宙学红移,宇宙学原理。

  • 假设 - 宇宙是均匀且各向同性的。

哈勃常数与比例因子的分数变化率

在本节中,我们将哈勃常数与比例因子的分数变化率联系起来。

我们可以用以下方式写出速度并简化。

v=drpdt

=d[a(t)rc]dt

v=dadt1a(arc)

v=dadt1arp

这里,v是退行速度,a是比例因子,rp是星系间的固有距离。

哈勃经验公式的形式为:

v=Hrp

因此,比较上述两个方程,我们得到:

哈勃参数 = 比例因子的分数变化率

H=dadt1a

注意 - 这不是一个常数,因为比例因子是时间的函数。因此它被称为哈勃参数而不是哈勃常数。

经验上我们写成:

H=VD

因此,从这个方程中,我们可以推断,由于D在增加而V是一个常数,那么H随着时间的推移和宇宙的膨胀而减小。

结合罗伯逊-沃克模型的弗里德曼方程

在本节中,我们将了解如何结合罗伯逊-沃克模型使用弗里德曼方程。为了理解这一点,让我们以以下图像为例,该图像中有一个距离为rp的测试质量,距离质量为M的天体。

Conjunction

考虑到上图,我们可以将力表示为:

F=GMmr2p

这里,G是万有引力常数,ρ是可观测宇宙内的物质密度。

现在,假设球体内质量密度均匀,我们可以写成:

M=43πr3pρ

将这些代入我们的力方程,我们得到:

F=43πGrpρm

因此,我们可以将质量m的势能和动能写成:

V=43πGr2pmρ

K.E=12mdr2pdt

使用维里定理

U=K.E+V

U=12m(drpdt)243πGr2pmρ

但是这里,rp=arc。所以我们得到:

U=12m(dadt)2r2c43πGr2pmρ

进一步简化后,我们得到弗里德曼方程:

(˙aa)2=8π3Gρ+2Umr2ca2

这里U是一个常数。我们还注意到,我们目前生活的宇宙是由物质主导的,而辐射能量密度非常低。

要点

  • 哈勃参数随着时间的推移和宇宙的膨胀而减小。

  • 我们目前生活的宇宙是由物质主导的,辐射能量密度非常低。

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