宇宙学 - 光度距离

如前一章所述，到红移为z的源的角直径距离由以下公式给出：

$$d_\wedge (z_{gal}) = \frac{c}{1+z_{gal}}\int_{0}^{z_{gal}} \frac{1}{H(z)}dz$$

$$d_\wedge(z_{gal}) = \frac{r_c}{1+z_{gal}}$$

其中$r_c$是共动距离。

光度距离取决于宇宙学，它被定义为观测到的通量f来自一个天体的距离。

如果已知遥远天体的固有光度$d_L$，我们可以通过测量通量$f$来计算其光度，通量由以下公式确定：

$$d_L(z) = \sqrt{\frac{L}{4\pi f}}$$

光子能量发生红移。

$$\frac{\lambda_{obs}}{\lambda_{emi}} = \frac{a_0}{a_e}$$

其中$\lambda_{obs}, \lambda_{emi}$是观测到的和发射的波长，$a_0, a_e$是相应的尺度因子。

$$\frac{\Delta t_{obs}}{\Delta t_{emi}} = \frac{a_0}{a_e}$$

其中$\Delta_t{obs}$是观测到的光子时间间隔，而$\Delta_t{emi}$是发射它们的时间间隔。

$$L_{emi} = \frac{nhv_{emi}}{\Delta t_{emi}}$$

$$L_{obs} = \frac{nhv_{obs}}{\Delta t_{obs}}$$

$\Delta t_{obs}$将比$\Delta t_{emi}$花费更多时间，因为探测器应该接收所有光子。

$$L_{obs} = L_{emi}\left ( \frac{a_0}{a_e} \right )^2$$

$$L_{obs} < L_{emi}$$

$$f_{obs} = \frac{L_{obs}}{4\pi d_L^2}$$

对于非膨胀宇宙，光度距离与共动距离相同。

$$d_L = r_c$$

$$\Rightarrow f_{obs} = \frac{L_{obs}}{4\pi r_c^2}$$

$$f_{obs} = \frac{L_{emi}}{4 \pi r_c^2}\left ( \frac{a_e}{a_0} \right )^2$$

$$\Rightarrow d_L = r_c\left ( \frac{a_0}{a_e} \right )$$

我们正在寻找光度距离$d_L$来计算发射天体的光度$L_{emi}$：

光度距离$d_L$和角直径距离$d_A$之间的关系。

我们知道：

$$d_A(z_{gal}) = \frac{d_L}{1+z_{gal}}\left ( \frac{a_0}{a_e} \right )$$

$$d_L = (1 + z_{gal})d_A(z_{gal})\left ( \frac{a_0}{a_e} \right )$$

光子发射时的尺度因子由以下公式给出：

$$a_e = \frac{1}{(1+z_{gal})}$$

当前宇宙的尺度因子为：

$$a_0 = 1$$

$$d_L = (1 + z_{gal})^2d_\wedge(z_{gal})$$

选择哪一个，$d_L$或$d_A$？

示例：如果给定两个红移相同的星系（z = 1），并且在天空平面上它们相隔2.3角秒，那么这两个星系之间的最大物理距离是多少？

为此，使用$d_A$如下：

$$d_A(z_{gal}) = \frac{c}{1+z_{gal}}\int_{0}^{z_{gal}} \frac{1}{H(z)}dz$$

其中z = 1，根据星系的宇宙学参数替换H(z)。

要点

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