宇宙学 - 角直径距离

本章我们将了解角直径距离是什么，以及它如何帮助宇宙学研究。

对于目前的宇宙：

到目前为止，我们已经学习了两种类型的距离：

距离作为红移的函数

考虑一个星系，它在时间t₁辐射出一个光子，该光子在t₀被观测者探测到。我们可以将星系的固有距离写成：

$$l_p = \int_{t_1}^{t_0} cdt$$

设星系的红移为z，

$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} = -\frac{1}{a^2}\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}$$

$$\Rightarrow \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} = -\frac{\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}}{a}\frac{1}{a}$$

$$\therefore \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} = -\frac{H(z)}{a}$$

现在，星系在任何时间t的共动距离将是：

$$l_c = \frac{l_p}{a(t)}$$

$$l_c = \int_{t_1}^{t_0} \frac{cdt}{a(t)}$$

根据z表示为：

$$l_c = \int_{t_0}^{t_1} \frac{cdz}{H(z)}$$

有两种方法可以找到距离，如下所示：

$$F = \frac{L}{4\pi d^2}$$

其中d是光源处的距离。

如果我们知道光源的大小，它的角宽度将告诉我们它与观测者的距离。

$$\theta = \frac{D}{l}$$

其中l是光源的角直径距离。

考虑一个大小为D，角大小为dθ的星系。

我们知道：

$$d\theta = \frac{D}{d_A}$$

$$\therefore D^2 = a(t)^2(r^2 d\theta^2) \quad \because dr^2 = 0; \: d\phi ^2 \approx 0$$

$$\Rightarrow D = a(t)rd\theta$$

将r改为r_c，即星系的共动距离，我们有：

$$d\theta = \frac{D}{r_ca(t)}$$

这里，如果我们选择t = t₀，我们将最终测量到星系的当前距离。但是D是在光子发射时测量的。因此，使用t = t₀，我们将得到星系更大的距离，因此低估了它的尺寸。因此，我们应该使用时间t₁。

$$\therefore d\theta = \frac{D}{r_ca(t_1)}$$

与之前的结果进行比较，我们得到：

$$d_\wedge = a(t_1)r_c$$

$$r_c = l_c = \frac{d_\wedge}{a(t_1)} = d_\wedge(1+z_1) \quad \because 1+z_1 = \frac{1}{a(t_1)}$$

因此，

$$d_\wedge = \frac{c}{1+z_1} \int_{0}^{z_1} \frac{dz}{H(z)}$$

d_A是物体的角直径距离。

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