宇宙学 - 流体方程

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本章将讨论流体方程，以及它如何告诉我们宇宙密度随时间的变化。

估计当前宇宙中的ρ_c和ρ

对于当前宇宙 -

$$\rho_c \simeq 10^{11}M_\odot M_{pc}^{-3} \simeq 10\: 氢原子 \: m^{-3}$$

我们的外太空存在着各种各样的临界密度。例如，对于星系际介质，ρ_c为每立方米1个氢原子，而对于分子云，则为每立方米10⁶个氢原子。

我们必须考虑适当的宇宙空间样本才能测量ρ_c。在我们的银河系内，ρ_c的值非常高，但我们的银河系不能代表整个宇宙。因此，我们应该到宇宙学原理成立的太空区域，即距离≈300 Mpc。观察300 Mpc意味着回溯10亿年前，但这仍然是当前宇宙。

像SDSS这样的巡天调查被用来确定实际的物质密度。它们选取一个5×500×5 Mpc³的体积，计算星系的数目，并加上来自这些星系的所有光线。假设1 L ≡ 1 M，即1太阳光度≡1太阳质量。

我们进行光到质量的转换，然后尝试根据该体积中存在的可见物质粒子来估计重子数。

例如，

$$1000L_\odot ≡ 1000M_\odot / m_p$$

其中，m_p=质子的质量。

然后我们得到大约的重子数密度Ω_b ≈ 0.025。这意味着ρ_b = ρ_c的0.25%。不同的调查结果略有不同。因此，在局部宇宙中，可见物质的数密度远小于临界密度，这意味着我们生活在一个开放的宇宙中。

这些调查没有包括质量的10倍的因子，因为这些调查考虑的是电磁辐射，而不是暗物质。给出，Ω_m = 0.3 - 0.4。仍然得出结论，我们生活在一个开放的宇宙中。

暗物质与引力相互作用。大量的暗物质可以阻止宇宙膨胀。我们还没有确定ρ如何随时间变化，为此我们需要另一组方程。

热力学指出 -

$$dQ = dU + dW$$

对于一个尺寸增长的系统，dW = P dV。宇宙的膨胀被建模为绝热的，即dQ = 0。因此，体积变化应该来自内能dU的变化。

让我们取一定体积的宇宙，其共动半径为单位，即r_c = 1。如果ρ是该空间体积内物质的密度，则：

$$M = \frac{4}{3} \pi a^3r_c^3 \rho$$

$$U = \frac{4}{3}\pi a^3\rho c^2$$

其中，U是能量密度。让我们找出随着宇宙膨胀，内能随时间的变化。

$$\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} t} = 4 \pi a^2 \rho c^2 \frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t} + \frac{4}{3}\pi a^3 c^2\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t}$$

类似地，体积随时间的变化由下式给出：

$$\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} = 4\pi a^2 \frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}$$

代入dU = −P dV。我们得到：

$$4\pi a^2(c^2 \rho +P)\dot{a}+\frac{4}{3}\pi a^3c^2\dot{\rho} = 0$$

$$\dot{\rho}+3\frac{\dot{a}}{a}\left ( \rho + \frac{P}{c^2} \right ) = 0$$

这被称为流体方程。它告诉我们宇宙的密度如何随时间变化。

随着宇宙膨胀，压力下降。在每一时刻压力都在变化，但在所考虑的体积中两点之间没有压力差，因此压力梯度为零。只有相对论性物质才会产生压力，物质是无压力的。

弗里德曼方程与流体方程一起模拟宇宙。

要点

• 暗物质与引力相互作用。大量的暗物质可以阻止膨胀。

• 流体方程告诉我们宇宙的密度如何随时间变化。

• 弗里德曼方程与流体方程一起模拟宇宙。

• 只有相对论性物质才会产生压力，物质是无压力的。