弗里德曼方程与世界模型

在本章中，我们将了解弗里德曼方程是什么，并详细研究不同曲率常数下的世界模型。

弗里德曼方程

该方程描述了宇宙均匀且各向同性模型中空间的膨胀。

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho + \frac{2U}{mr_c^2a^2}$$

在**广义相对论**(GR)和罗伯逊-沃尔克度规的背景下，该方程进行了修改。

使用GR方程 -

$$\frac{2U}{mr_c^2} = -kc^2$$

其中**k**是曲率常数。因此，

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8 \pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2}$$

此外，$\rho$被替换为能量密度，其中包括物质、辐射和任何其他形式的能量。但为了表示的目的，它写成$\rho$。

不同曲率常数下的世界模型

现在让我们根据曲率常数的值来查看各种可能性。

情况1：k=1，或封闭宇宙

对于膨胀宇宙，$da/dt > 0$。随着膨胀的继续，上述方程右侧的第一项随$a^{-3}$变化，而第二项随$a^{-2}$变化。当这两项相等时，宇宙停止膨胀。然后 -

$$\frac{8 \pi G}{3}\rho = \frac{kc^2}{a^2}$$

这里，k=1，因此，

$$a = \left [ \frac{3c^2}{8 \pi G\rho} \right ]^{\frac{1}{2}}$$

这样的宇宙是有限的，并且具有有限的体积。这被称为封闭宇宙。

情况2：k=-1，或开放宇宙

如果**k < 0**，膨胀将永远不会停止。在某个时刻，与第二项相比，可以忽略右侧的第一项。

这里，k = -1。因此，$da/dt ∼ c$。

在这种情况下，宇宙正在匀速膨胀。这样的宇宙具有无限的空间和时间。这被称为开放宇宙。

情况3：k=0，或平坦宇宙

在这种情况下，宇宙以减速膨胀。这里，k = 0。因此，

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho$$

这样的宇宙具有无限的空间和时间。这被称为平坦宇宙。

要点

• 弗里德曼方程描述了宇宙均匀且各向同性模型中空间的膨胀。

• 根据不同的曲率常数值，我们可以得到封闭宇宙、开放宇宙或平坦宇宙。