解耦时的CMB温度

我们首先应该了解是什么特征决定了解耦。我们知道，当时的能量高得多，以至于物质只以电离粒子的形式存在。因此，在解耦和复合时期，能量必须下降才能允许氢的电离。可以进行近似计算来估计解耦时的温度。

计算过程如下：

首先，只考虑基态氢的电离。

$$hv \approx k_BT$$

$$\therefore T \approx \frac{hv}{k_B}$$

对于基态氢的电离，hν为13.6 eV，kB为玻尔兹曼常数8.61 × 10⁻⁵ eV/K，这表明温度为1.5 × 10⁵ 开尔文。

这实质上告诉我们，如果温度低于1.5 × 10⁵ K，中性原子就可以开始形成。

我们知道，光子与重子的比率约为5 × 10¹⁰。因此，即使在光子数量减少的图表尾部，仍然有足够的光子来电离氢原子。此外，电子和质子的复合并不保证形成基态氢原子。激发态需要较低的能量进行电离。因此，应针对每种情况进行严格的统计分析以获得精确的值。计算结果将温度设定为约3000K。

为了解释起见，我们考虑将氢激发到第一激发态的情况。能量大于ΔE的光子数量Nγ (> ΔE)与光子总数Nγ之比的通用表达式为：

$$\frac{N_\gamma(> \Delta E)}{N_\gamma} \propto e^{\frac{-\Delta E}{kT}}$$

对于将氢激发到第一激发态的情况，ΔE为10.2 eV。现在，如果我们考虑一个非常保守的数字，即至少每个重子有一个能量大于10.2 eV的光子（记住比率为5 × 10¹⁰），我们从公式3中得到温度为4800 K（插入Nγ(> ΔE) = Np）。

这是产生第一激发态中性氢原子群的温度。电离该状态所需的温度明显较低。因此，我们得到了比1.5 × 10⁵ K更好的估计值，更接近公认值3000 K。

红移-温度关系

为了理解红移和温度之间的关系，我们采用如下所述的两种方法。

从维恩位移定律，我们知道

$$\lambda_mT = 常数$$

为了将其与红移联系起来，我们使用：

$$1+z = \frac{\lambda_0}{\lambda_e}$$

由于$λ_oT_o = λ_eT(z)$，我们得到：

$$T(z) = T_0\frac{\lambda_0}{\lambda_e} = T_0(1+z)$$

将T_o设定为当前值3K，我们可以得到给定红移下的温度值。

就频率而言，我们知道：

$$v_0 = \frac{v_e}{1+z}$$

$$B_vdv = \frac{2hv^3}{c^2} \frac{dv}{e^{hv/kT}-1}$$

这告诉我们光子在能量区间内的净能量，而hν是单个光子的能量。因此，我们可以通过Bνdν/hν获得光子的数量。

如果$n_{νo}$代表现在，$n_{νe}$代表发射，我们得到：

$$\frac{n_{v_e}}{n_{v_0}} = (1+z)^3$$

简化后，我们得到：

$$n_{v_0} =\frac{2v_c^2}{c^2}\frac{dv_c}{e^{hv/kT}-1}\frac{1}{(1+z)^3}=\frac{2v_0^2}{c^2}\frac{dv_c}{e^{hv/kT}-1}$$

这再次给了我们维恩位移定律，因此可以得出结论：

$$T(z) = T_0\frac{\lambda_0}{\lambda_e} = T_0(1+z)$$

打印页面