宇宙学 - 凌日法

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凌日法（开普勒太空望远镜）用于确定行星的大小。一颗恒星因行星遮挡而导致的亮度下降通常非常小，不像双星系统那样显著。

• F₀是行星掩食恒星之前恒星的通量。

• F₁是整个行星位于恒星前方后的通量。

下图将用于所有计算。

$$\frac{F_0 - F_1}{F_0} = \frac{\pi r_p^{2}}{\pi R^2_\ast}$$

$$\frac{\Delta F}{F} \cong \frac{r^2_p}{R^2_\ast}$$

$$\left ( \frac{\Delta F}{F} \right )_{earth} \cong 0.001\%$$

$$\left ( \frac{\Delta F}{F} \right )_{jupiter} \cong 1\%$$

这对于地面望远镜来说不容易实现。它是通过哈勃望远镜实现的。

这里，t_T是A点和D点之间的时间，t_F是B点和C点之间的时间。

凌日几何与系统的倾角i有关。凌日纬度和倾角是可以互换的。

从上图可以看出：

$$\frac{h}{a} = cos(i)$$

$$\frac{h}{R_\ast} = sin(\delta)$$

$$cos(i) = \frac{R_\ast sin(\delta)}{a}$$

$$y^2 = (R_\ast + R_p)^2 - h^2$$

$$y = [(R_\ast + R_p)^2 - h^2]^{\frac{1}{2}}$$

$$sin(\theta) = \frac{y}{a}$$

$$\theta = sin^{-1}\left [ \frac{(R_\ast + R_p)^2 - a^2cos^2(i)}{a^2} \right ]^{\frac{1}{2}}$$

$$t_T = \frac{P}{2\pi} \times 2\theta$$

这里，t_T是发生凌日的周期分数，(2θ/2π)是发生凌日的角度分数。

$$sin(\frac{t_T\pi}{P}) = \frac{R_\ast}{a}\left [ \left ( 1+ \frac{R_p}{R_\ast}\right )^2 - \left ( \frac{a}{R_\ast}cos(i)\right )^2 \right ]^{\frac{1}{2}}$$

通常，a >> R∗ >> Rp。因此，我们可以写成：

$$sin(\frac{t_T\pi}{P}) = \frac{R_\ast}{a}\left [ 1- \left ( \frac{a}{R_\ast}cos(i) \right )^2\right ]^{\frac{1}{2}}$$

这里，P是两次连续凌日之间的时间间隔。凌日时间与轨道周期相比非常短。因此，

$$t_T = \frac{P}{\pi}\left [ \left ( \frac{R_\ast}{a}\right )^2 - cos^2(i)\right ]^{\frac{1}{2}}$$

这里，t_T，P，R∗是可观测量，a和i需要计算得出。

现在，

$$sin(\frac{t_F\pi}{P}) = \frac{R_\ast}{a}\left [\left (1 - \frac{R_p}{R_\ast} \right )^2 - \left ( \frac{a}{R_\ast}cos\:i \right )^2\right ]^{\frac{1}{2}}$$

其中，y² = (R_∗ − R_p)² − h²。

令，

$$\frac{\Delta F}{F} = D = \left ( \frac{R_p}{R_\ast} \right )^2$$

现在，我们可以表示为：

$$\frac{a}{R_\ast} = \frac{2P}{\pi} D^{\frac{1}{4}}(t^2_T - t^2_F)^{-\frac{1}{2}}$$

对于主序星，

$$R_\ast \propto M^\alpha_\ast$$

$$\frac{R_\ast}{R_0} \propto \left ( \frac{M_\ast}{M_0}\right )^\alpha$$

这给出了R∗。

因此，我们也得到了‘a’的值。

所以，我们得到了'R_p'，'a'和'i'。

对于所有这些，

$$h \leq R_\ast + R_p$$

$$a\: cos\: i \leq R_\ast + R_p$$

即使对于𝑖~89度，凌日持续时间也很短。行星必须非常靠近才能获得足够的凌日时间。这给‘i’带来了严格的限制。一旦我们得到‘i’，我们就可以从径向速度测量中推导出‘m_p’。

这种通过凌日法进行的探测被称为机会探测，即观测到凌日的概率。凌日概率（观测概率）计算如下所示。

凌日概率与两个极端凌日构型所描绘的立体角有关，即：

$$行星立体角 = 2\pi \left ( \frac{2R_\ast}{a} \right )$$

以及在半长轴a处的总立体角，或：

$$球体立体角 = 4\pi$$

概率是这两个面积的比率：

$$= \frac{有利方向所覆盖的天空面积}{所有可能的轨道方向所覆盖的天空面积}$$

$= \frac{4\pi a_pR_\ast}{4\pi a^2_p} = \frac{R_\ast}{a_p}$ $\frac{空心圆柱体的面积}{球体的面积}$

这个概率与观测者无关。

要点

• 凌日法（开普勒太空望远镜）用于确定行星的大小。
• 通过凌日法进行的探测是机会探测。
• 行星必须非常靠近才能获得足够的凌日时间。
• 凌日概率与行星的立体角有关。
• 此概率与观测者的参考系无关。