控制系统 - 伯德图

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伯德图或伯德图由两张图组成：

• 幅值图
• 相位图

在这两张图中，x轴表示角频率（对数刻度）。而y轴在幅值图中表示开环传递函数的幅值（线性刻度），在相位图中表示开环传递函数的相位角（线性刻度）。

开环传递函数的**幅值**（以dB为单位）为：

$$M=20\: \log|G(j\omega)H(j\omega)|$$

开环传递函数的**相位角**（以度为单位）为：

$$\phi=\angle G(j\omega)H(j\omega)$$

**注意** - 对数的底数为10。

伯德图基础

下表显示了开环传递函数中各项的斜率、幅值和相位角值。绘制伯德图时，这些数据非常有用。

考虑开环传递函数 $G(s)H(s) = K$。

幅值 $M = 20\: \log K$ dB

相位角 $\phi = 0$ 度

如果 $K = 1$，则幅值为 0 dB。

如果 $K > 1$，则幅值将为正。

如果 $K < 1$，则幅值将为负。

下图显示了相应的伯德图。

幅值图是一条水平线，与频率无关。当 K 值为 1 时，0 dB 线本身就是幅值图。对于 K 的正值，水平线将向上移动 $20 \:\log K$ dB。对于 K 的负值，水平线将向下移动 $20\: \log K$ dB。对于所有 K 的正值，0 度线本身就是相位图。

考虑开环传递函数 $G(s)H(s) = s$。

幅值 $M = 20 \log \omega$ dB

相位角 $\phi = 90^0$

在 $\omega = 0.1$ rad/sec 时，幅值为 -20 dB。

在 $\omega = 1$ rad/sec 时，幅值为 0 dB。

在 $\omega = 10$ rad/sec 时，幅值为 20 dB。

下图显示了相应的伯德图。

幅值图是一条斜率为 20 dB/dec 的直线。这条线从 $\omega = 0.1$ rad/sec 开始，幅值为 -20 dB，并以相同的斜率继续。它在 $\omega = 1$ rad/sec 时与 0 dB 线相交。在这种情况下，相位图是 90⁰ 线。

考虑开环传递函数 $G(s)H(s) = 1 + s\tau$。

幅值 $M = 20\: log \sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$ dB

相位角 $\phi = \tan^{-1}\omega\tau$ 度

对于 $ω < \frac{1}{\tau}$ ，幅值为 0 dB，相位角为 0 度。

对于 $\omega > \frac{1}{\tau}$ ，幅值为 $20\: \log \omega\tau$ dB，相位角为 90⁰。

下图显示了相应的伯德图。

幅值图在 $\omega=\frac{1}{\tau}$ rad/sec 之前幅值为 0 dB。从 $\omega = \frac{1}{\tau}$ rad/sec 开始，其斜率为 20 dB/dec。在这种情况下，相位图在 $\omega = \frac{1}{\tau}$ rad/sec 之前相位角为 0 度，从这里开始，相位角为 90⁰。这个伯德图被称为**渐近伯德图**。

由于幅值和相位图是用直线表示的，精确的伯德图类似于渐近伯德图。唯一的区别是精确的伯德图将具有简单的曲线而不是直线。

同样，您可以针对表格中给出的开环传递函数的其他项绘制伯德图。