一阶系统的响应

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在本节中，我们将讨论一阶系统的时间响应。考虑以下闭环控制系统的方块图。这里，一个开环传递函数 $\frac{1}{sT}$ 连接到一个单位负反馈。

我们知道，具有单位负反馈的闭环控制系统的传递函数为：

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$

将 $G(s)=\frac{1}{sT}$ 代入上式。

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\frac{1}{sT}}{1+\frac{1}{sT}}=\frac{1}{sT+1}$$

分母项中 s 的幂为 1。因此，上述传递函数是一阶的，并且该系统被称为一阶系统。

我们可以将上述方程改写为

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$$

其中，

• C(s) 是输出信号 c(t) 的拉普拉斯变换，

• R(s) 是输入信号 r(t) 的拉普拉斯变换，并且

• T 是时间常数。

按照以下步骤获取一阶系统在时域中的响应（输出）。

• 对输入信号 $r(t)$ 进行拉普拉斯变换。

• 考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

• 将 $R(s)$ 的值代入上述方程。

• 如果需要，对 $C(s)$ 进行部分分式展开。

• 对 $C(s)$ 应用拉普拉斯反变换。

在上一节中，我们看到了标准的测试信号，如脉冲、阶跃、斜坡和抛物线。现在让我们逐一找出每个输入的一阶系统的响应。响应的名称根据输入信号的名称给出。例如，系统对脉冲输入的响应称为脉冲响应。

一阶系统的脉冲响应

考虑将单位脉冲信号作为一阶系统的输入。

所以，$r(t)=\delta (t)$

对等式两边进行拉普拉斯变换。

$R(s)=1$

考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

将 $R(s) = 1$ 代入上述方程。

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )(1)=\frac{1}{sT+1}$$

将上述方程重新排列成拉普拉斯变换的标准形式之一。

$$C(s)=\frac{1}{T\left (\ s+\frac{1}{T} \right )} \Rightarrow C(s)=\frac{1}{T}\left ( \frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right )$$

对等式两边应用拉普拉斯反变换。

$$c(t)=\frac{1}{T}e^\left ( {-\frac{t}{T}} \right )u(t)$$

单位脉冲响应如下图所示。

单位脉冲响应 c(t) 对于 t 的正值是指数衰减信号，对于 t 的负值则为零。

一阶系统的阶跃响应

考虑将单位阶跃信号作为一阶系统的输入。

所以，$r(t)=u(t)$

对等式两边进行拉普拉斯变换。

$$R(s)=\frac{1}{s}$$

考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

将 $R(s)=\frac{1}{s}$ 代入上述方程。

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left ( \frac{1}{s} \right )=\frac{1}{s\left ( sT+1 \right )}$$

对 C(s) 进行部分分式展开。

$$C(s)=\frac{1}{s\left ( sT+1 \right )}=\frac{A}{s}+\frac{B}{sT+1}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{s\left ( sT+1 \right )}=\frac{A\left ( sT+1 \right )+Bs}{s\left ( sT+1 \right )}$$

在等式两边，分母项相同。因此，它们将相互抵消。因此，将分子项相等。

$$1=A\left ( sT+1 \right )+Bs$$

通过将等式两边的常数项相等，可以得到 A = 1。

将 A = 1 代入，并将等式两边 s 项的系数相等。

$$0=T+B \Rightarrow B=-T$$

将 A = 1 和 B = −T 代入 $C(s)$ 的部分分式展开中。

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{T}{sT+1}=\frac{1}{s}-\frac{T}{T\left ( s+\frac{1}{T} \right )}$$

$$\Rightarrow C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{T}}$$

对等式两边应用拉普拉斯反变换。

$$c(t)=\left ( 1-e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )} \right )u(t)$$

单位阶跃响应 c(t) 同时具有暂态项和稳态项。

单位阶跃响应中的暂态项为：

$$c_{tr}(t)=-e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )}u(t)$$

单位阶跃响应中的稳态项为：

$$c_{ss}(t)=u(t)$$

下图显示了单位阶跃响应。

单位阶跃响应 c(t) 在 t = 0 和 t 的所有负值时都为零。它从零值逐渐增加，最终在稳态时达到 1。因此，稳态值取决于输入的幅度。

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一阶系统的斜坡响应

考虑将单位斜坡信号作为一阶系统的输入。

$So, r(t)=tu(t)$

对等式两边进行拉普拉斯变换。

$$R(s)=\frac{1}{s^2}$$

考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

将 $R(s)=\frac{1}{s^2}$ 代入上述方程。

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left ( \frac{1}{s^2} \right )=\frac{1}{s^2(sT+1)}$$

对 $C(s)$ 进行部分分式展开。

$$C(s)=\frac{1}{s^2(sT+1)}=\frac{A}{s^2}+\frac{B}{s}+\frac{C}{sT+1}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{s^2(sT+1)}=\frac{A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs^2}{s^2(sT+1)}$$

在等式两边，分母项相同。因此，它们将相互抵消。因此，将分子项相等。

$$1=A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs^2$$

通过将等式两边的常数项相等，可以得到 A = 1。

将 A = 1 代入，并将等式两边 s 项的系数相等。

$$0=T+B \Rightarrow B=-T$$

类似地，将 B = −T 代入，并将等式两边 $s^2$ 项的系数相等。您将得到 $C=T^2$。

将 A = 1，B = −T 和 $C = T^2$ 代入 $C(s)$ 的部分分式展开中。

$$C(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T^2}{sT+1}=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T^2}{T\left ( s+\frac{1}{T} \right )}$$

$$\Rightarrow C(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T}{s+\frac{1}{T}}$$

对等式两边应用拉普拉斯反变换。

$$c(t)=\left ( t-T+Te^{-\left ( \frac{t}{T} \right )} \right )u(t)$$

单位斜坡响应 c(t) 同时具有暂态项和稳态项。

单位斜坡响应中的暂态项为：

$$c_{tr}(t)=Te^{-\left ( \frac{t}{T} \right )}u(t)$$

单位斜坡响应中的稳态项为：

$$c_{ss}(t)=(t-T)u(t)$$

下图显示了单位斜坡响应。

单位斜坡响应 c(t) 在 t 的所有正值时都遵循单位斜坡输入信号。但是，与输入信号存在 T 个单位的偏差。

一阶系统的抛物线响应

考虑将单位抛物线信号作为一阶系统的输入。

所以，$r(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$

对等式两边进行拉普拉斯变换。

$$R(s)=\frac{1}{s^3}$$

考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

将 $R(s)=\frac{1}{s^3}$ 代入上述方程。

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left( \frac{1}{s^3} \right )=\frac{1}{s^3(sT+1)}$$

对 $C(s)$ 进行部分分式展开。

$$C(s)=\frac{1}{s^3(sT+1)}=\frac{A}{s^3}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s}+\frac{D}{sT+1}$$

简化后，您将分别得到 A、B、C 和 D 的值为 1、$-T、\: T^2\: 和 \: −T^3$。将这些值代入上述 C(s) 的部分分式展开中。

$C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^3}{sT+1} \: \Rightarrow C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^2}{s+\frac{1}{T}}$

对等式两边应用拉普拉斯反变换。

$$c(t)=\left ( \frac{t^2}{2} -Tt+T^2-T^2e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )} \right )u(t)$$

单位抛物线响应 c(t) 同时具有暂态项和稳态项。

单位抛物线响应中的暂态项为

$$C_{tr}(t)=-T^2e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )}u(t)$$

单位抛物线响应中的稳态项为

$$C_{ss}(t)=\left ( \frac{t^2}{2} -Tt+T^2 \right )u(t)$$

从这些响应中，我们可以得出结论，一阶控制系统在斜坡和抛物线输入下不稳定，因为即使在无限长的时间内，这些响应也会不断增加。一阶控制系统在脉冲和阶跃输入下是稳定的，因为这些响应具有有界输出。但是，脉冲响应没有稳态项。因此，阶跃信号在时域中被广泛用于根据其响应分析控制系统。