频率响应分析

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我们已经讨论了控制系统的时间响应分析以及二阶控制系统的时域指标。在本章中，让我们讨论控制系统的频率响应分析以及二阶控制系统的频域指标。

什么是频率响应？

系统的响应可以分为瞬态响应和稳态响应。我们可以使用傅里叶积分找到瞬态响应。系统对正弦输入信号的稳态响应称为**频率响应**。在本章中，我们将只关注稳态响应。

如果将正弦信号作为线性时不变（LTI）系统的输入，则它会产生稳态输出，该输出也是正弦信号。输入和输出正弦信号具有相同的频率，但幅度和相位角不同。

设输入信号为 -

$$r(t)=A\sin(\omega_0t)$$

开环传递函数将为 -

$$G(s)=G(j\omega)$$

我们可以用幅值和相位表示 $G(j\omega)$，如下所示。

$$G(j\omega)=|G(j\omega)| \angle G(j\omega)$$

将 $\omega = \omega_0$ 代入上述方程。

$$G(j\omega_0)=|G(j\omega_0)| \angle G(j\omega_0)$$

输出信号为

$$c(t)=A|G(j\omega_0)|\sin(\omega_0t + \angle G(j\omega_0))$$

• 输出正弦信号的**幅值**是通过将输入正弦信号的幅值与 $\omega = \omega_0$ 时 $G(j\omega)$ 的幅值相乘得到的。

• 输出正弦信号的**相位**是通过将输入正弦信号的相位与 $\omega = \omega_0$ 时 $G(j\omega)$ 的相位相加得到的。

其中，

• **A** 是输入正弦信号的幅值。

• **ω₀** 是输入正弦信号的角频率。

我们可以将角频率 $\omega_0$ 写成如下所示。

$$\omega_0=2\pi f_0$$

这里，$f_0$ 是输入正弦信号的频率。类似地，您可以对闭环控制系统遵循相同的程序。

频域指标

频域指标为**谐振峰值、谐振频率和带宽**。

将二阶闭环控制系统的传递函数视为，

$$T(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

将 $s = j\omega$ 代入上述方程。

$$T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{(j\omega)^2+2\delta\omega_n(j\omega)+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{-\omega^2+2j\delta\omega\omega_n+\omega_n^2}=\frac{\omega_n^2}{\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )}$$

$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{1}{\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2} \right )+j\left ( \frac{2\delta\omega}{\omega_n} \right )}$$

设 $\frac{\omega}{\omega_n}=u$ 将此值代入上述方程。

$$T(j\omega)=\frac{1}{(1-u^2)+j(2\delta u)}$$

$T(j\omega)$ 的幅值为 -

$$M=|T(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt {(1-u^2)^2+(2\delta u)^2}}$$

$T(j\omega)$ 的相位为 -

$$\angle T(j\omega)=-tan^{-1}\left( \frac{2\delta u}{1-u^2} \right )$$

谐振频率

它是频率响应幅值第一次达到峰值的频率。用 $\omega_r$ 表示。在 $\omega = \omega_r$ 时，$T(j\omega)$ 幅值的第一个导数为零。

对 $M$ 关于 $u$ 求导。

$$\frac{\text{d}M}{\text{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u)^2 \right ]^{\frac{-3}{2}} \left [2(1-u^2)(-2u)+2(2\delta u)(2\delta) \right ]$$

$$\Rightarrow \frac{\text{d}M}{\text{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u)^2 \right ]^{\frac{-3}{2}} \left [4u(u^2-1 +2\delta^2) \right ]$$

将 $u=u_r$ 和 $\frac{\text{d}M}{\text{d}u}==0$ 代入上述方程。

$$0=-\frac{1}{2}\left [ (1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2 \right ]^{-\frac{3}{2}}\left [ 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2) \right ]$$

$$\Rightarrow 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2)=0$$

$$\Rightarrow u_r^2-1+2\delta^2=0$$

$$\Rightarrow u_r^2=1-2\delta^2$$

$$\Rightarrow u_r=\sqrt{1-2\delta^2}$$

将 $u_r=\frac{\omega_r}{\omega_n}$ 代入上述方程。

$$\frac{\omega_r}{\omega_n}=\sqrt{1-2\delta^2}$$

$$\Rightarrow \omega_r=\omega_n \sqrt{1-2\delta^2}$$

谐振峰值

它是 $T(j\omega)$ 幅值的峰值（最大值）。用 $M_r$ 表示。

在 $u = u_r$ 时，$T(j\omega)$ 的幅值为 -

$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2}}$$

将 $u_r = \sqrt{1 − 2\delta^2}$ 和 $1 − u_r^2 = 2\delta^2$ 代入上述方程。

$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(2\delta^2)^2+(2\delta \sqrt{1-2\delta^2})^2}}$$

$$\Rightarrow M_r=\frac{1}{2\delta \sqrt {1-\delta^2}}$$

频率响应中的谐振峰值与某些阻尼比 $\delta$ 值的时域瞬态响应中的峰值过冲相关。因此，谐振峰值和峰值过冲彼此相关。

带宽

它是 $T(j\omega)$ 的幅值从其零频率值下降到 70.7% 的频率范围。

在 $\omega = 0$ 时，$u$ 的值为零。

将 $u = 0$ 代入 M。

$$M=\frac{1}{\sqrt {(1-0^2)^2+(2\delta(0))^2}}=1$$

因此，在 $\omega = 0$ 时，$T(j\omega)$ 的幅值为 1。

在 3dB 频率处，$T(j\omega)$ 的幅值将是 $\omega = 0$ 时 $T(j\omega)$ 幅值的 70.7%。

即，在 $\omega = \omega_B$ 时，$M = 0.707(1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$$\Rightarrow M=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{(1-u_b^2)^2+(2\delta u_b)^2}}$$

$$\Rightarrow 2=(1-u_b^2)^2+(2\delta)^2 u_b^2$$

设 $u_b^2=x$

$$\Rightarrow 2=(1-x)^2+(2\delta)^2 x$$

$$\Rightarrow x^2+(4\delta^2-2)x-1=0$$

$$\Rightarrow x=\frac{-(4\delta^2 -2)\pm \sqrt{(4\delta^2-2)^2+4}}{2}$$

仅考虑 x 的正值。

$$x=1-2\delta^2+\sqrt {(2\delta^2-1)^2+1}$$

$$\Rightarrow x=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$

将 $x=u_b^2=\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}$ 代入

$$\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$

$$\Rightarrow \omega_b=\omega_n \sqrt {1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}}$$

频率响应中的带宽 $\omega_b$ 与时域瞬态响应中的上升时间 $t_r$ 成反比。