控制系统 - 数学模型

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控制系统可以用一组称为数学模型的数学方程来表示。这些模型可用于控制系统的分析和设计。控制系统的分析是指在已知输入和数学模型的情况下求解输出。控制系统的设计是指在已知输入和输出的情况下求解数学模型。

以下数学模型最常用。

• 微分方程模型
• 传递函数模型
• 状态空间模型

本章将讨论前两种模型。

微分方程模型

微分方程模型是控制系统的时域数学模型。微分方程模型的步骤如下：

• 将基本定律应用于给定的控制系统。

• 通过消除中间变量，得到关于输入和输出的微分方程。

示例

考虑以下所示的电路系统。该电路由电阻器、电感器和电容器组成。所有这些电气元件都串联连接。施加到该电路的输入电压为$v_i$，电容器两端的电压为输出电压$v_o$。

该电路的网孔方程为

$$v_i=Ri+L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}+v_o$$

将流过电容器的电流$i=c\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}$代入上式。

$$\Rightarrow\:v_i=RC\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+LC\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+v_o$$

$$\Rightarrow\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} \right )\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{LC} \right )v_o=\left ( \frac{1}{LC} \right )v_i$$

上述方程是二阶微分方程。

传递函数模型

传递函数模型是控制系统的s域数学模型。线性时不变(LTI)系统的传递函数定义为输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比，假设所有初始条件均为零。

如果$x(t)$和$y(t)$是LTI系统的输入和输出，则对应的拉普拉斯变换为$X(s)$和$Y(s)$。

因此，LTI系统的传递函数等于$Y(s)$和$X(s)$的比值。

$$即，传递函数 =\frac{Y(s)}{X(s)}$$

LTI系统的传递函数模型如下图所示。

在这里，我们用一个内部包含传递函数的方框来表示一个LTI系统。该方框具有输入$X(s)$和输出$Y(s)$。

示例

前面，我们得到一个电路系统的微分方程为

$$\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} \right )\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{LC} \right )v_o=\left ( \frac{1}{LC} \right )v_i$$

对两边进行拉普拉斯变换。

$$s^2V_o(s)+\left ( \frac{sR}{L} \right )V_o(s)+\left ( \frac{1}{LC} \right )V_o(s)=\left ( \frac{1}{LC} \right )V_i(s)$$

$$\Rightarrow \left \{ s^2+\left ( \frac{R}{L} \right )s+\frac{1}{LC} \right \}V_o(s)=\left ( \frac{1}{LC} \right )V_i(s)$$

$$\Rightarrow \frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\left ( \frac{R}{L} \right )s+\frac{1}{LC}}$$

其中，

• $v_i(s)$是输入电压$v_i$的拉普拉斯变换

• $v_o(s)$是输出电压$v_o$的拉普拉斯变换

上式是二阶电路系统的传递函数。该系统的传递函数模型如下所示。

在这里，我们用一个内部包含传递函数的方框来表示一个二阶电路系统。该方框具有输入$V_i(s)$和输出$V_o(s)$。