控制系统 - 快速指南

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控制系统 - 简介

控制系统是一个通过控制输出以提供所需响应的系统。下图显示了控制系统的简单方框图。

在这里，控制系统由单个方块表示。由于输出通过改变输入来控制，因此控制系统得到了这个名称。我们将通过某种机制改变这个输入。在下一节关于开环和闭环控制系统的部分中，我们将详细研究控制系统内部的方块以及如何改变此输入以获得所需响应。

示例 - 交通信号灯控制系统，洗衣机

交通信号灯控制系统是控制系统的一个例子。在这里，一个输入信号序列被应用于此控制系统，输出是三个灯中的一个，该灯将在一段时间内亮起。在此期间，其他两个灯将熄灭。根据特定路口的交通研究，可以确定灯的开启和关闭时间。相应地，输入信号控制输出。因此，交通信号灯控制系统基于时间运行。

控制系统的分类

基于某些参数，我们可以将控制系统分类如下。

连续时间和离散时间控制系统

• 根据信号类型，控制系统可以分为连续时间控制系统和离散时间控制系统。

• 在连续时间控制系统中，所有信号都是时间连续的。但是，在离散时间控制系统中，存在一个或多个离散时间信号。

单输入单输出 (SISO) 和多输入多输出 (MIMO) 控制系统

• 根据输入和输出的数量，控制系统可以分为单输入单输出 (SISO) 控制系统和多输入多输出 (MIMO) 控制系统。

• 单输入单输出 (SISO) 控制系统具有一个输入和一个输出。而多输入多输出 (MIMO) 控制系统则具有多个输入和多个输出。

开环和闭环控制系统

根据反馈路径，控制系统可以分为开环控制系统和闭环控制系统。

在开环控制系统中，输出不会反馈到输入。因此，控制作用与所需输出无关。

下图显示了开环控制系统的方框图。

在这里，输入被应用于控制器，并产生一个执行信号或控制信号。此信号作为输入提供给要控制的设备或过程。因此，设备产生受控的输出。我们前面讨论的交通信号灯控制系统就是一个开环控制系统的例子。

在闭环控制系统中，输出反馈到输入。因此，控制作用取决于所需输出。

下图显示了负反馈闭环控制系统的方框图。

误差检测器产生一个误差信号，它是输入和反馈信号之间的差值。该反馈信号通过将整个系统的输出作为此模块的输入来从模块（反馈元件）中获得。误差信号代替直接输入作为控制器的输入。

因此，控制器产生一个控制设备的执行信号。在这个组合中，控制系统的输出会自动调整，直到我们获得所需的响应。因此，闭环控制系统也称为自动控制系统。在输入端带有传感器的交通信号灯控制系统就是一个闭环控制系统的例子。

开环和闭环控制系统的区别在下表中列出。

控制系统 - 反馈

如果输出或输出的某些部分返回到输入端并用作系统输入的一部分，则称为反馈。反馈在提高控制系统的性能方面起着重要作用。在本节中，让我们讨论反馈的类型和反馈的影响。

反馈类型

反馈有两种类型：

• 正反馈
• 负反馈

正反馈

正反馈增加了参考输入，$R(s)$和反馈输出。下图显示了正反馈控制系统的方框图。

传递函数的概念将在后面的章节中讨论。目前，考虑正反馈控制系统的传递函数为：

$T=\frac{G}{1-GH}$ (公式 1)

其中：

• T 是正反馈控制系统的传递函数或总增益。

• G 是开环增益，它是频率的函数。

• H 是反馈路径的增益，它是频率的函数。

负反馈

负反馈减少了参考输入 $R(s)$ 和系统输出之间的误差。下图显示了负反馈控制系统的方框图。

负反馈控制系统的传递函数为：

$T=\frac{G}{1+GH}$ (公式 2)

其中：

• T 是负反馈控制系统的传递函数或总增益。

• G 是开环增益，它是频率的函数。

• H 是反馈路径的增益，它是频率的函数。

上述传递函数的推导在后面的章节中给出。

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反馈的影响

现在让我们了解反馈的影响。

反馈对总增益的影响

• 从公式 2 可以看出，负反馈闭环控制系统的总增益是 'G' 与 (1+GH) 的比值。因此，总增益可能会增加或减少，这取决于 (1+GH) 的值。

• 如果 (1+GH) 的值小于 1，则总增益增加。在这种情况下，'GH' 值为负，因为反馈路径的增益为负。

• 如果 (1+GH) 的值大于 1，则总增益减小。在这种情况下，'GH' 值为正，因为反馈路径的增益为正。

一般来说，'G' 和 'H' 都是频率的函数。因此，反馈将在一个频率范围内增加系统的总增益，而在另一个频率范围内减小。

反馈对灵敏度的影响

负反馈闭环控制系统 (T) 的总增益对开环增益 (G) 变化的灵敏度定义为

$S_{G}^{T} = \frac{\frac{\partial T}{T}}{\frac{\partial G}{G}}=\frac{T的变化百分比}{G的变化百分比}$ (公式 3)

其中，∂T 是由于 G 的增量变化而导致的 T 的增量变化。

我们可以将公式 3 重写为

$S_{G}^{T}=\frac{\partial T}{\partial G}\frac{G}{T}$ (公式 4)

对公式 2 两边关于 G 进行偏微分。

$\frac{\partial T}{\partial G}=\frac{\partial}{\partial G}\left (\frac{G}{1+GH} \right )=\frac{(1+GH).1-G(H)}{(1+GH)^2}=\frac{1}{(1+GH)^2}$ (公式 5)

从公式 2，我们将得到

$\frac{G}{T}=1+GH$ (公式 6)

将公式 5 和公式 6 代入公式 4。

$$S_{G}^{T}=\frac{1}{(1+GH)^2}(1+GH)=\frac{1}{1+GH}$$

因此，我们得到了闭环控制系统的总增益的灵敏度为 (1+GH) 的倒数。因此，灵敏度可能会增加或减少，这取决于 (1+GH) 的值。

• 如果 (1+GH) 的值小于 1，则灵敏度增加。在这种情况下，'GH' 值为负，因为反馈路径的增益为负。

• 如果 (1+GH) 的值大于 1，则灵敏度减小。在这种情况下，'GH' 值为正，因为反馈路径的增益为正。

一般来说，'G' 和 'H' 都是频率的函数。因此，反馈将在一个频率范围内增加系统增益的灵敏度，而在另一个频率范围内减小。因此，我们必须选择 'GH' 的值，以使系统对参数变化不敏感或不太敏感。

反馈对稳定性的影响

• 如果系统的输出处于控制之下，则称该系统稳定。否则，则称其不稳定。

• 在公式 2 中，如果分母值为零（即 GH = -1），则控制系统的输出将为无限大。因此，控制系统变得不稳定。

因此，我们必须正确选择反馈以使控制系统稳定。

反馈对噪声的影响

为了了解反馈对噪声的影响，让我们比较一下由于噪声信号而导致的有反馈和无反馈的传递函数关系。

考虑一个如下图所示的带有噪声信号的开环控制系统。

开环传递函数（仅由于噪声信号）为

$\frac{C(s)}{N(s)}=G_b$ (公式 7)

这是通过将另一个输入 $R(s)$ 设置为零获得的。

考虑一个如下图所示的带有噪声信号的闭环控制系统。

闭环传递函数（仅由于噪声信号）为

$\frac{C(s)}{N(s)}=\frac{G_b}{1+G_aG_bH}$ (公式 8)

这是通过将另一个输入 $R(s)$ 设置为零获得的。

比较公式 7 和公式 8：

在闭环控制系统中，由于噪声信号引起的增益被 $(1+G_a G_b H)$ 因素减小，前提是 $(1+G_a G_b H)$ 大于 1。

控制系统 - 数学模型

控制系统可以用一组称为数学模型的数学方程来表示。这些模型可用于控制系统的分析和设计。控制系统的分析是指在已知输入和数学模型的情况下寻找输出。控制系统的設計是指在已知输入和输出的情况下寻找数学模型。

以下数学模型最常用。

• 微分方程模型
• 传递函数模型
• 状态空间模型

本章我们讨论前两种模型。

微分方程模型

微分方程模型是控制系统的时域数学模型。建立微分方程模型，请遵循以下步骤：

• 将基本定律应用于给定的控制系统。

• 通过消除中间变量，得到关于输入和输出的微分方程。

示例

考虑下图所示的电路系统。该电路由电阻器、电感器和电容器组成，所有这些元件都串联连接。施加到该电路的输入电压为$v_i$，电容器两端的电压为输出电压$v_o$。

该电路的网孔方程为：

$$v_i=Ri+L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}+v_o$$

将流过电容器的电流$i=c\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}$代入上式。

$$\Rightarrow\:v_i=RC\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+LC\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+v_o$$

$$\Rightarrow\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} \right )\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{LC} \right )v_o=\left ( \frac{1}{LC} \right )v_i$$

上式是一个二阶微分方程。

传递函数模型

传递函数模型是控制系统的s域数学模型。线性时不变 (LTI) 系统的传递函数定义为输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比，假设所有初始条件均为零。

如果$x(t)$和$y(t)$分别是LTI系统的输入和输出，则相应的拉普拉斯变换为$X(s)$和$Y(s)$。

因此，LTI系统的传递函数等于$Y(s)$和$X(s)$的比率。

$$即，传递函数 =\frac{Y(s)}{X(s)}$$

LTI系统的传递函数模型如下图所示。

在这里，我们用一个内部包含传递函数的方框表示LTI系统。该方框具有输入$X(s)$和输出$Y(s)$。

示例

前面我们得到电路系统的微分方程为：

$$\frac{\text{d}^2v_o}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} \right )\frac{\text{d}v_o}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{LC} \right )v_o=\left ( \frac{1}{LC} \right )v_i$$

对等式两边进行拉普拉斯变换。

$$s^2V_o(s)+\left ( \frac{sR}{L} \right )V_o(s)+\left ( \frac{1}{LC} \right )V_o(s)=\left ( \frac{1}{LC} \right )V_i(s)$$

$$\Rightarrow \left \{ s^2+\left ( \frac{R}{L} \right )s+\frac{1}{LC} \right \}V_o(s)=\left ( \frac{1}{LC} \right )V_i(s)$$

$$\Rightarrow \frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\left ( \frac{R}{L} \right )s+\frac{1}{LC}}$$

其中：

• $v_i(s)$是输入电压$v_i$的拉普拉斯变换

• $v_o(s)$是输出电压$v_o$的拉普拉斯变换

上式是二阶电路系统的传递函数。该系统的传递函数模型如下所示。

这里，我们用一个内部包含传递函数的方框表示二阶电路系统。该方框具有输入$V_i(s)$和输出$V_o(s)$。

机械系统的建模

本章，我们讨论机械系统的微分方程建模。根据运动类型，机械系统分为两种：

• 平动机械系统
• 转动机械系统

平动机械系统的建模

平动机械系统沿直线运动。这些系统主要由三个基本元件组成：质量、弹簧和阻尼器。

如果对平动机械系统施加力，则会受到由于系统的质量、弹性和摩擦而产生的反作用力的阻碍。由于施加的力和反作用力方向相反，作用在系统上的力的代数和为零。现在让我们分别看看这三个元件产生的反作用力。

质量

质量是物体的属性，它储存动能。如果对质量为M的物体施加力，则会受到由于质量产生的反作用力的阻碍。该反作用力与物体的加速度成正比。假设弹性和摩擦可以忽略不计。

$$F_m\propto\: a$$

$$\Rightarrow F_m=Ma=M\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}$$

$$F=F_m=M\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}$$

其中：

• F为施加的力

• F_m为由于质量产生的反作用力

• M为质量

• a为加速度

• x为位移

弹簧

弹簧是一个储存势能的元件。如果对弹簧K施加力，则会受到由于弹簧弹性产生的反作用力的阻碍。该反作用力与弹簧的位移成正比。假设质量和摩擦可以忽略不计。

$$F\propto\: x$$

$$\Rightarrow F_k=Kx$$

$$F=F_k=Kx$$

其中：

• F为施加的力

• F_k为由于弹簧弹性产生的反作用力

• K为弹簧常数

• x为位移

阻尼器

如果对阻尼器B施加力，则会受到由于阻尼器的摩擦产生的反作用力的阻碍。该反作用力与物体的速度成正比。假设质量和弹性可以忽略不计。

$$F_b\propto\: \nu$$

$$\Rightarrow F_b=B\nu=B\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$$

$$F=F_b=B\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$$

其中：

• F_b为由于阻尼器摩擦产生的反作用力

• B为摩擦系数

• v为速度

• x为位移

转动机械系统的建模

转动机械系统绕固定轴旋转。这些系统主要由三个基本元件组成：转动惯量、扭转弹簧和阻尼器。

如果对转动机械系统施加扭矩，则会受到由于系统的转动惯量、弹性和摩擦而产生的反作用扭矩的阻碍。由于施加的扭矩和反作用扭矩方向相反，作用在系统上的扭矩的代数和为零。现在让我们分别看看这三个元件产生的反作用扭矩。

转动惯量

在平动机械系统中，质量储存动能。类似地，在转动机械系统中，转动惯量储存动能。

如果对转动惯量为J的物体施加扭矩，则会受到由于转动惯量产生的反作用扭矩的阻碍。该反作用扭矩与物体的角加速度成正比。假设弹性和摩擦可以忽略不计。

$$T_j\propto\: \alpha$$

$$\Rightarrow T_j=J\alpha=J\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2}$$

$$T=T_j=J\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2}$$

其中：

• T为施加的扭矩

• T_j为由于转动惯量产生的反作用扭矩

• J为转动惯量

• α为角加速度

• θ为角位移

扭转弹簧

在平动机械系统中，弹簧储存势能。类似地，在转动机械系统中，扭转弹簧储存势能。

如果对扭转弹簧K施加扭矩，则会受到由于扭转弹簧弹性产生的反作用扭矩的阻碍。该反作用扭矩与扭转弹簧的角位移成正比。假设转动惯量和摩擦可以忽略不计。

$$T_k\propto\: \theta$$

$$\Rightarrow T_k=K\theta$$

$$T=T_k=K\theta$$

其中：

• T为施加的扭矩

• T_k为由于扭转弹簧弹性产生的反作用扭矩

• K为扭转弹簧常数

• θ为角位移

阻尼器

如果对阻尼器B施加扭矩，则会受到由于阻尼器的转动摩擦产生的反作用扭矩的阻碍。该反作用扭矩与物体的角速度成正比。假设转动惯量和弹性可以忽略不计。

$$T_b\propto\: \omega$$

$$\Rightarrow T_b=B\omega=B\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}$$

$$T=T_b=B\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}$$

其中：

• T_b为由于阻尼器的转动摩擦产生的反作用扭矩

• B为转动摩擦系数

• ω为角速度

• θ为角位移

机械系统的电气等效

如果满足以下两个条件，则称两个系统是类似的。

• 这两个系统在物理上不同
• 这两个系统的微分方程建模相同

电路系统和机械系统是两个物理上不同的系统。平动机械系统有两种类型的电路模拟：力电压模拟和力电流模拟。

力电压模拟

在力电压模拟中，将平动机械系统的数学方程与电路系统的网孔方程进行比较。

考虑下图所示的平动机械系统。

该系统的力平衡方程为：

$$F=F_m+F_b+F_k$$

$\Rightarrow F=M\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+B\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+Kx$ (方程 1)

考虑下图所示的电路系统。该电路由电阻器、电感器和电容器组成，所有这些元件都串联连接。施加到该电路的输入电压为$V$伏特，流过电路的电流为$i$安培。

该电路的网孔方程为：

$V=Ri+L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}+\frac{1}{c}\int idt$ (方程 2)

将$i=\frac{\text{d}q}{\text{d}t}$代入方程 2。

$$V=R\frac{\text{d}q}{\text{d}t}+L\frac{\text{d}^2q}{\text{d}t^2}+\frac{q}{C}$$

$\Rightarrow V=L\frac{\text{d}^2q}{\text{d}t^2}+R\frac{\text{d}q}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{c} \right )q$ (方程 3)

通过比较方程 1 和方程 3，我们可以得到平动机械系统和电路系统的类似量。下表显示了这些类似量。

类似地，转动机械系统存在扭矩电压模拟。现在让我们讨论这种模拟。

扭矩电压模拟

在这种模拟中，将转动机械系统的数学方程与电路系统的网孔方程进行比较。

转动机械系统如下图所示。

扭矩平衡方程为：

$$T=T_j+T_b+T_k$$

$\Rightarrow T=J\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d}t^2}+B\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}+k\theta$ (方程 4)

通过比较方程 4 和方程 3，我们可以得到转动机械系统和电路系统的类似量。下表显示了这些类似量。

力电流模拟

在力电流模拟中，将平动机械系统的数学方程与电路系统的节点方程进行比较。

考虑下图所示的电路系统。该电路由电流源、电阻器、电感器和电容器组成，所有这些元件都并联连接。

节点方程为：

$i=\frac{V}{R}+\frac{1}{L}\int Vdt+C\frac{\text{d}V}{\text{d}t}$ (方程 5)

将$V=\frac{\text{d}\Psi}{\text{d}t}$代入方程 5。

$$i=\frac{1}{R}\frac{\text{d}\Psi}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{L} \right )\Psi+C\frac{\text{d}^2\Psi}{\text{d}t^2}$$

$\Rightarrow i=C\frac{\text{d}^2\Psi}{\text{d}t^2}+\left ( \frac{1}{R} \right )\frac{\text{d}\Psi}{\text{d}t}+\left ( \frac{1}{L} \right )\Psi$ (方程 6)

通过比较方程 1 和方程 6，我们可以得到平动机械系统和电路系统的类似量。下表显示了这些类似量。

类似地，转动机械系统存在扭矩电流模拟。现在让我们讨论这种模拟。

扭矩电流模拟

在本例中，旋转机械系统的数学方程与电路系统的节点网格方程进行了比较。

通过比较公式4和公式6，我们将得到旋转机械系统和电路系统的相似量。下表显示了这些相似量。

本章讨论了机械系统的电路模拟。这些模拟有助于从模拟电路系统研究和分析非电气系统，例如机械系统。

控制系统 - 方框图

框图由单个方块或多个方块组合组成。它们用于以图形形式表示控制系统。

框图的基本元素

框图的基本元素包括方块、加法点和取样点。让我们考虑下图所示的闭环控制系统的框图，以识别这些元素。

上图框图包含两个具有传递函数G(s)和H(s)的方块。它还有一个加法点和一个取样点。箭头指示信号流的方向。现在让我们逐一讨论这些元素。

方块

组件的传递函数由一个方块表示。方块具有单个输入和单个输出。

下图显示了一个具有输入X(s)、输出Y(s)和传递函数G(s)的方块。

传递函数，$G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$

$$\Rightarrow Y(s)=G(s)X(s)$$

方块的输出是通过将方块的传递函数与输入相乘得到的。

加法点

加法点用内部带有十字(X)的圆圈表示。它有两个或多个输入和单个输出。它产生输入的代数和。它还可以根据输入的极性执行输入的求和或减法或求和与减法的组合。让我们逐一看看这三种运算。

下图显示了一个具有两个输入(A，B)和一个输出(Y)的加法点。这里，输入A和B具有正号。因此，加法点产生输出Y作为A和B的和。

即，Y = A + B。

下图显示了一个具有两个输入(A，B)和一个输出(Y)的加法点。这里，输入A和B具有相反的符号，即A具有正号，B具有负号。因此，加法点产生输出Y作为A和B的差。

Y = A + (-B) = A - B。

下图显示了一个具有三个输入(A，B，C)和一个输出(Y)的加法点。这里，输入A和B具有正号，C具有负号。因此，加法点产生输出Y为

Y = A + B + (−C) = A + B − C。

取样点

取样点是一个点，可以从中将相同的输入信号传递到多个分支。这意味着借助取样点，我们可以将相同的输入应用于一个或多个方块、加法点。

在下图中，取样点用于将相同的输入R(s)连接到另外两个方块。

在下图中，取样点用于将输出C(s)作为其中一个输入连接到加法点。

电路系统的框图表示

在本节中，让我们用框图表示一个电路系统。电路系统主要包含三个基本元件——电阻器、电感器和电容器。

考虑下图所示的RLC串联电路。其中，V_i(t)和V_o(t)分别是输入电压和输出电压。设i(t)为流过电路的电流。该电路处于时域。

通过对该电路应用拉普拉斯变换，将得到s域中的电路。电路如下图所示。

从上图电路，我们可以写出

$$I(s)=\frac{V_i(s)-V_o(s)}{R+sL}$$

$\Rightarrow I(s)=\left \{ \frac{1}{R+sL} \right \}\left \{ V_i(s)-V_o(s) \right \}$ (公式1)

$V_o(s)=\left ( \frac{1}{sC} \right )I(s)$ (公式2)

现在让我们分别绘制这两个方程的框图。然后正确地组合这些框图，以获得RLC串联电路（s域）的整体框图。

公式1可以用一个具有传递函数$\frac{1}{R+sL}$的方块实现。该方块的输入和输出是$\left \{ V_i(s)-V_o(s) \right \}$和$I(s)$。我们需要一个加法点来获得$\left \{ V_i(s)-V_o(s) \right \}$。公式1的框图如下图所示。

公式2可以用一个具有传递函数$\frac{1}{sC}$的方块实现。该方块的输入和输出是$I(s)$和$V_o(s)$。公式2的框图如下图所示。

RLC串联电路（s域）的整体框图如下图所示。

同样，您可以通过遵循此简单的步骤来绘制任何电路或系统的框图。

• 通过应用拉普拉斯变换将时域电路转换为s域电路。

• 写下流过所有串联支路元件的电流和所有并联支路的电压的方程。

• 分别绘制所有上述方程的框图。

• 正确地组合所有这些框图，以获得电路（s域）的整体框图。

控制系统 - 框图代数

框图代数只不过是框图基本元素所涉及的代数。这种代数处理代数方程的图形表示。

方块的基本连接

两个方块之间有三种基本类型的连接。

串联连接

串联连接也称为级联连接。在下图中，两个具有传递函数$G_1(s)$和$G_2(s)$的方块串联连接。

对于这种组合，我们将得到输出$Y(s)$为

$$Y(s)=G_2(s)Z(s)$$

其中，$Z(s)=G_1(s)X(s)$

$$\Rightarrow Y(s)=G_2(s)[G_1(s)X(s)]=G_1(s)G_2(s)X(s)$$

$$\Rightarrow Y(s)=\lbrace G_1(s)G_2(s)\rbrace X(s)$$

将此方程与输出方程的标准形式$Y(s)=G(s)X(s)$进行比较。其中，$G(s) = G_1(s)G_2(s)$。

这意味着我们可以用一个方块表示两个方块的串联连接。该单个方块的传递函数是这两个方块的传递函数的乘积。等效框图如下所示。

同样，您可以用一个方块表示“n”个方块的串联连接。该单个方块的传递函数是所有这些“n”个方块的传递函数的乘积。

并联连接

并联连接的方块将具有相同的输入。在下图中，两个具有传递函数$G_1(s)$和$G_2(s)$的方块并联连接。这两个方块的输出连接到加法点。

对于这种组合，我们将得到输出$Y(s)$为

$$Y(s)=Y_1(s)+Y_2(s)$$

其中，$Y_1(s)=G_1(s)X(s)$和$Y_2(s)=G_2(s)X(s)$

$$\Rightarrow Y(s)=G_1(s)X(s)+G_2(s)X(s)=\lbrace G_1(s)+G_2(s)\rbrace X(s)$$

将此方程与输出方程的标准形式$Y(s)=G(s)X(s)$进行比较。

其中，$G(s)=G_1(s)+G_2(s)$。

这意味着我们可以用一个方块表示两个方块的并联连接。该单个方块的传递函数是这两个方块的传递函数的和。等效框图如下所示。

同样，您可以用一个方块表示“n”个方块的并联连接。该单个方块的传递函数是所有这些“n”个方块的传递函数的代数和。

反馈连接

正如我们在前几章中讨论的那样，有两种类型的反馈——正反馈和负反馈。下图显示了负反馈控制系统。这里，两个具有传递函数$G(s)$和$H(s)$的方块形成一个闭环。

加法点的输出为：

$$E(s)=X(s)-H(s)Y(s)$$

输出$Y(s)$为：

$$Y(s)=E(s)G(s)$$

将$E(s)$的值代入上式。

$$Y(s)=\left \{ X(s)-H(s)Y(s)\rbrace G(s) \right\}$$

$$Y(s)\left \{ 1+G(s)H(s)\rbrace = X(s)G(s) \right\}$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$$

因此，负反馈闭环传递函数为$\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$

这意味着我们可以用一个方块表示两个方块的负反馈连接。该单个方块的传递函数是负反馈的闭环传递函数。等效框图如下所示。

同样，您可以用一个方块表示两个方块的正反馈连接。该单个方块的传递函数是正反馈的闭环传递函数，即$\frac{G(s)}{1-G(s)H(s)}$

加法点的框图代数

关于方块，有两种移动加法点的可能性：

• 将加法点移到方块之后
• 将加法点移到方块之前

现在让我们看看在上述两种情况下需要进行什么样的安排。

将加法点移到方块之后

考虑下图所示的框图。这里，加法点位于方块之前。

加法点有两个输入$R(s)$和$X(s)$。它的输出是$\left \{R(s)+X(s)\right\}$。

因此，方块$G(s)$的输入是$\left \{R(s)+X(s)\right\}$，它的输出是：

$$Y(s)=G(s)\left \{R(s)+X(s)\right \}$$

$\Rightarrow Y(s)=G(s)R(s)+G(s)X(s)$ (公式1)

现在，将加法点移到方块之后。该框图如下图所示。

方块$G(s)$的输出为$G(s)R(s)$。

加法点的输出为

$Y(s)=G(s)R(s)+X(s)$ (公式2)

比较公式1和公式2。

第一项$‘G(s) R(s)’$在两个方程中相同。但是，第二项有所不同。为了使第二项也相同，我们需要另一个方块$G(s)$。它具有输入$X(s)$，并且该方块的输出作为输入提供给加法点，而不是$X(s)$。该框图如下图所示。

将加法点移到方块之前

考虑下图所示的框图。这里，加法点位于方块之后。

该框图的输出为：

$Y(s)=G(s)R(s)+X(s)$ (公式3)

现在，将加法点移到方块之前。该框图如下图所示。

该框图的输出为：

$Y(S)=G(s)R(s)+G(s)X(s)$ (公式4)

比较公式3和公式4，

第一项$‘G(s) R(s)’$在两个方程中相同。但是，第二项有所不同。为了使第二项也相同，我们需要另一个方块$\frac{1}{G(s)}$。它具有输入$X(s)$，并且该方块的输出作为输入提供给加法点，而不是$X(s)$。该框图如下图所示。

取样点的框图代数

关于方块，有两种移动取样点的可能性：

• 将取样点移到方块之后
• 将取样点移到方块之前

现在让我们看看在上述两种情况下需要进行什么样的安排。

将取样点移到方块之后

考虑下图所示的框图。在这种情况下，取样点位于方块之前。

这里，$X(s)=R(s)$和$Y(s)=G(s)R(s)$

当您在方块之后移动取样点时，输出 $Y(s)$ 将保持不变。但是，$X(s)$ 的值会发生变化。因此，为了得到相同的 $X(s)$ 值，我们需要另一个方块 $\frac{1}{G(s)}$。它的输入为 $Y(s)$，输出为 $X(s)$。该框图如下所示。

在方块之前移动取样点

考虑下图所示的框图。此处，取样点位于方块之后。

这里，$X(s)=Y(s)=G(s)R(s)$

当您在方块之前移动取样点时，输出 $Y(s)$ 将保持不变。但是，$X(s)$ 的值会发生变化。因此，为了得到相同的 $X(s)$ 值，我们需要另一个方块 $G(s)$。它的输入为 $R(s)$，输出为 $X(s)$。该框图如下所示。

控制系统 - 框图化简

前几章中讨论的概念有助于化简（简化）框图。

框图化简规则

遵循以下规则来简化（化简）包含许多方块、加法点和取样点的框图。

• 规则 1 − 检查串联连接的方块并进行简化。

• 规则 2 − 检查并联连接的方块并进行简化。

• 规则 3 − 检查反馈环路中连接的方块并进行简化。

• 规则 4 − 如果在简化过程中取样点存在困难，则将其向右移动。

• 规则 5 − 如果在简化过程中加法点存在困难，则将其向左移动。

• 规则 6 − 重复上述步骤，直到得到简化形式，即单个方块。

注意 − 此单个方块中存在的传递函数是整个框图的传递函数。

示例

考虑下图所示的框图。让我们使用框图化简规则来简化（化简）此框图。

步骤 1 − 对方块 $G_1$ 和 $G_2$ 使用规则 1。对方块 $G_3$ 和 $G_4$ 使用规则 2。修改后的框图如下所示。

步骤 2 − 对方块 $G_1G_2$ 和 $H_1$ 使用规则 3。对方块 $G_5$ 之后移动取样点使用规则 4。修改后的框图如下所示。

步骤 3 − 对方块 $(G_3 + G_4)$ 和 $G_5$ 使用规则 1。修改后的框图如下所示。

步骤 4 − 对方块 $(G_3 + G_4)G_5$ 和 $H_3$ 使用规则 3。修改后的框图如下所示。

步骤 5 − 对串联连接的方块使用规则 1。修改后的框图如下所示。

步骤 6 − 对反馈环路中连接的方块使用规则 3。修改后的框图如下所示。这是简化的框图。

因此，系统的传递函数为

$$\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{G_1G_2G_5^2(G_3+G_4)}{(1+G_1G_2H_1)\{1+(G_3+G_4)G_5H_3\}G_5 - G_1G_2G_5(G_3+G_4)H_2}$$

注意 − 为了计算具有多个输入的框图的传递函数，请按照以下步骤操作。

• 步骤 1 − 通过一次考虑一个输入并将其余输入设为零来查找框图的传递函数。

• 步骤 2 − 对其余输入重复步骤 1。

• 步骤 3 − 通过添加所有这些传递函数来获得整体传递函数。

对于复杂的系统，框图化简过程需要更多时间。因为我们必须在每一步之后绘制（部分简化的）框图。因此，为了克服这个缺点，可以使用信号流图（表示）。

在接下来的两章中，我们将讨论与信号流图相关的概念，即如何从给定的框图表示信号流图以及仅使用增益公式而不进行任何化简过程来计算传递函数。

控制系统 - 信号流图

信号流图是代数方程的图形表示。在本章中，让我们讨论与信号流图相关的基本概念，并学习如何绘制信号流图。

信号流图的基本元素

节点和分支是信号流图的基本元素。

节点

节点是一个点，它表示变量或信号。共有三种类型的节点——输入节点、输出节点和混合节点。

• 输入节点 − 它是一个只有输出分支的节点。

• 输出节点 − 它是一个只有输入分支的节点。

• 混合节点 − 它是一个同时具有输入和输出分支的节点。

示例

让我们考虑以下信号流图来识别这些节点。

• 此信号流图中存在的节点为y₁, y₂, y₃和y₄。

• y₁和y₄分别是输入节点和输出节点。

• y₂和y₃是混合节点。

分支

分支是连接两个节点的线段。它同时具有增益和方向。例如，上述信号流图中有四个分支。这些分支的增益为a, b, c和-d。

信号流图的构造

让我们通过考虑以下代数方程来构造一个信号流图：

$$y_2=a_{12}y_1+a_{42}y_4$$

$$y_3=a_{23}y_2+a_{53}y_5$$

$$y_4=a_{34}y_3$$

$$y_5=a_{45}y_4+a_{35}y_3$$

$$y_6=a_{56}y_5$$

此信号流图将有六个节点（y₁, y₂, y₃, y₄, y₅和y₆）和八个分支。分支的增益为a₁₂, a₂₃, a₃₄, a₄₅, a₅₆, a₄₂, a₅₃和a₃₅。

为了获得整体信号流图，请为每个方程绘制信号流图，然后组合所有这些信号流图，然后按照以下步骤操作：

步骤 1 − $y_2 = a_{13}y_1 + a_{42}y_4$ 的信号流图如下所示。

步骤 2 − $y_3 = a_{23}y_2 + a_{53}y_5$ 的信号流图如下所示。

步骤 3 − $y_4 = a_{34}y_3$ 的信号流图如下所示。

步骤 4 − $y_5 = a_{45}y_4 + a_{35}y_3$ 的信号流图如下所示。

步骤 5 − $y_6 = a_{56}y_5$ 的信号流图如下所示。

步骤 6 − 整个系统的信号流图如下所示。

将框图转换为信号流图

按照以下步骤将框图转换为等效的信号流图。

• 将框图的所有信号、变量、加法点和取样点表示为信号流图中的节点。

• 将框图的方块表示为信号流图中的分支。

• 将框图方块内的传递函数表示为信号流图分支的增益。

• 根据框图连接节点。如果两个节点之间存在连接（但两者之间没有方块），则将分支的增益表示为 1。例如，加法点之间、加法点和取样点之间、输入和加法点之间、取样点和输出之间。

示例

让我们将以下框图转换为其等效的信号流图。

将框图的输入信号 $R(s)$ 和输出信号 $C(s)$ 表示为信号流图的输入节点 $R(s)$ 和输出节点 $C(s)$。

仅供参考，其余节点 (y₁ 到 y₉) 在框图中已标记。除了输入和输出节点之外，还有九个节点。即四个加法点的四个节点，四个取样点的四个节点以及方块 $G_1$ 和 $G_2$ 之间的变量的一个节点。

下图显示了等效的信号流图。

借助梅森增益公式（下一章讨论），您可以计算此信号流图的传递函数。这是信号流图的优点。在这里，我们不需要简化（化简）信号流图来计算传递函数。

梅森增益公式

现在让我们讨论梅森增益公式。假设信号流图中有“N”个前向路径。信号流图的输入节点和输出节点之间的增益就是系统的传递函数。可以使用梅森增益公式计算它。

梅森增益公式为

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\Sigma ^N _{i=1}P_i\Delta _i}{\Delta}$$

其中：

• C(s) 是输出节点

• R(s) 是输入节点

• T 是 $R(s)$ 和 $C(s)$ 之间的传递函数或增益

• P_i 是第 i 个前向路径增益

$\Delta =1-(所有单个回路增益之和)$

$+(所有可能的两个不相交回路的增益乘积之和)$

$$-(所有可能的三个不相交回路的增益乘积之和)+...$$

通过去除与第 i 个前向路径相接触的回路，可以得到 Δ_i.

考虑以下信号流图，以便理解此处涉及的基本术语。

路径

它是从一个节点到任何其他节点沿分支箭头方向的遍历。它不应遍历任何节点一次以上。

示例 − $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5$ 和 $y_5 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$

前向路径

从输入节点到输出节点存在的路径称为前向路径。

示例 − $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$ 和 $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$。

前向路径增益

它是通过计算前向路径的所有分支增益的乘积获得的。

示例 − $abcde$ 是 $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$ 的前向通路增益，而 $abge$ 是 $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$ 的前向通路增益。

回路

从一个节点开始并结束于同一节点的路径称为回路。因此，它是一个闭合路径。

示例 − $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ 和 $y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$。

回路增益

它是通过计算回路所有支路增益的乘积获得的。

示例 − $b_j$ 是 $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ 的回路增益，而 $g_h$ 是 $y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$ 的回路增益。

不相交回路

这些回路之间不应有任何公共节点。

示例 − 回路 $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ 和 $y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$ 是不相交的。

使用梅森增益公式计算传递函数

让我们考虑相同的信号流图来求传递函数。

• 前向通路数，N = 2。

• 第一条前向通路为 - $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$。

• 第一条前向通路增益，$p_1 = abcde$。

• 第二条前向通路为 - $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$。

• 第二条前向通路增益，$p_2 = abge$。

• 单个回路数，L = 5。

• 回路为 - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$，$y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$，$y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$，$y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$ 和 $y_5 \rightarrow y_5$。

• 回路增益为 - $l_1 = bj$，$l_2 = gh$，$l_3 = cdh$，$l_4 = di$ 和 $l_5 = f$。

• 不相交的两回路对数 = 2。

• 第一对不相交回路为 - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$，$y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$。

• 第一对不相交回路的增益乘积，$l_1l_4 = bjdi$

• 第二对不相交回路为 - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$，$y_5 \rightarrow y_5$。

• 第二对不相交回路的增益乘积为 - $l_1l_5 = bjf$

此信号流图中不存在多个（超过两个）不相交回路。

我们知道，

$\Delta =1-(所有单个回路增益之和)$

$+(所有可能的两个不相交回路的增益乘积之和)$

$$-(所有可能的三个不相交回路的增益乘积之和)+...$$

将值代入上式，

$\Delta =1-(bj+gh+cdh+di+f)+(bjdi+bjf)-(0)$

$\Rightarrow \Delta=1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf$

没有与第一条前向通路不相交的回路。

所以，$\Delta_1=1$。

类似地，$\Delta_2=1$。因为没有与第二条前向通路不相交的回路。

将 N = 2 代入梅森增益公式

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\Sigma ^2 _{i=1}P_i\Delta _i}{\Delta}$$

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{P_1\Delta_1+P_2\Delta_2}{\Delta}$$

将所有必要的值代入上式。

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)1+(abge)1}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$

$$\Rightarrow T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)+(abge)}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$

因此，传递函数为 -

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)+(abge)}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$

控制系统 - 时间响应分析

我们可以在时域和频域分析控制系统的响应。我们将在后面的章节中讨论控制系统的频率响应分析。现在让我们讨论控制系统的时间响应分析。

什么是时间响应？

如果控制系统的输出对于一个输入随时间变化，则称其为控制系统的时间响应。时间响应包括两部分。

• 暂态响应
• 稳态响应

下图显示了控制系统在时域中的响应。

此处，图中指出了暂态和稳态。与这些状态相对应的响应称为暂态响应和稳态响应。

数学上，我们可以将时间响应 c(t) 写作

$$c(t)=c_{tr}(t)+c_{ss}(t)$$

其中：

• c_tr(t) 是暂态响应
• c_ss(t) 是稳态响应

暂态响应

将输入施加到控制系统后，输出需要一定时间才能达到稳态。因此，输出将处于暂态，直到它进入稳态。因此，控制系统在暂态期间的响应称为暂态响应。

对于较大的 't' 值，暂态响应将为零。理想情况下，此 't' 值为无穷大，实际上是常数的五倍。

数学上，我们可以写成

$$\lim_{t\rightarrow \infty }c_{tr}(t)=0$$

稳态响应

即使在暂态响应对于较大的 't' 值为零之后仍然存在的时间响应部分称为稳态响应。这意味着，即使在稳态期间，暂态响应也将为零。

示例

让我们找到控制系统 $c(t)=10+5e^{-t}$ 的时间响应的暂态和稳态项。

这里，第二项 $5e^{-t}$ 将为零，因为 **t** 表示无穷大。所以，这是**暂态项**。而第一项 10 即使当 **t** 趋于无穷大时也仍然存在。所以，这是**稳态项**。

标准测试信号

标准测试信号为脉冲、阶跃、斜坡和抛物线。这些信号用于使用输出的时间响应来了解控制系统的性能。

单位脉冲信号

单位脉冲信号 δ(t) 定义为

$\delta (t)=0$ 对于 $t\neq 0$

以及 $\int_{0^-}^{0^+} \delta (t)dt=1$

下图显示了单位脉冲信号。

因此，单位脉冲信号仅在 't' 等于零时存在。该信号在围绕 't' 的较小时间间隔内的面积等于零为一。对于所有其他 't' 值，单位脉冲信号的值为零。

单位阶跃信号

单位阶跃信号 u(t) 定义为

$$u(t)=1;t\geq 0$$

$=0; t<0$

下图显示了单位阶跃信号。

因此，单位阶跃信号存在于所有正 't' 值（包括零）中。在此区间内，其值为 1。对于所有负 't' 值，单位阶跃信号的值为零。

单位斜坡信号

单位斜坡信号 r(t) 定义为

$$r(t)=t; t\geq 0$$

$=0; t<0$

我们可以用单位阶跃信号 u(t) 来表示单位斜坡信号 r(t)，如下所示：

$$r(t)=tu(t)$$

下图显示了单位斜坡信号。

因此，单位斜坡信号存在于所有正 't' 值（包括零）中。在此区间内，其值随 't' 线性增加。对于所有负 't' 值，单位斜坡信号的值为零。

单位抛物线信号

单位抛物线信号 p(t) 定义为：

$$p(t)=\frac{t^2}{2}; t\geq 0$$

$=0; t<0$

我们可以用单位阶跃信号 u(t) 来表示单位抛物线信号 p(t)，如下所示：

$$p(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$$

下图显示了单位抛物线信号。

因此，单位抛物线信号存在于所有正 **'t'** 值（包括零）中。在此区间内，其值相对于 't' 非线性增加。对于所有负 't' 值，单位抛物线信号的值为零。

一阶系统的响应

在本节中，让我们讨论一阶系统的时间响应。考虑以下闭环控制系统的框图。这里，一个开环传递函数 $\frac{1}{sT}$ 与一个单位负反馈连接。

我们知道，具有单位负反馈的闭环控制系统的传递函数为：

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$

将 $G(s)=\frac{1}{sT}$ 代入上式。

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\frac{1}{sT}}{1+\frac{1}{sT}}=\frac{1}{sT+1}$$

分母项中 s 的幂为 1。因此，上述传递函数是一阶的，该系统被称为一阶系统。

我们可以将上述方程改写为

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$$

其中：

• C(s) 是输出信号 c(t) 的拉普拉斯变换，

• R(s) 是输入信号 r(t) 的拉普拉斯变换，并且

• T 是时间常数。

按照以下步骤获得时域中一阶系统的响应（输出）。

• 取输入信号 $r(t)$ 的拉普拉斯变换。

• 考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

• 将 $R(s)$ 值代入上式。

• 如果需要，对 $C(s)$ 进行部分分式分解。

• 对 $C(s)$ 应用拉普拉斯逆变换。

在上一节中，我们已经看到了标准测试信号，例如脉冲、阶跃、斜坡和抛物线。现在让我们一一找出每个输入的一阶系统的响应。响应的名称根据输入信号的名称给出。例如，系统对脉冲输入的响应称为脉冲响应。

一阶系统的脉冲响应

将单位脉冲信号作为输入信号输入一阶系统。

所以，$r(t)=\delta (t)$

对两边应用拉普拉斯变换。

$R(s)=1$

考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

将 $R(s) = 1$ 代入上式。

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )(1)=\frac{1}{sT+1}$$

将上述方程重新排列成拉普拉斯变换的标准形式之一。

$$C(s)=\frac{1}{T\left (\ s+\frac{1}{T} \right )} \Rightarrow C(s)=\frac{1}{T}\left ( \frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right )$$

对两边应用拉普拉斯逆变换。

$$c(t)=\frac{1}{T}e^\left ( {-\frac{t}{T}} \right )u(t)$$

下图显示了单位脉冲响应。

单位脉冲响应 c(t) 对于正 't' 值是指数衰减信号，对于负 't' 值则为零。

一阶系统的阶跃响应

将单位阶跃信号作为输入信号输入一阶系统。

所以，$r(t)=u(t)$

对两边应用拉普拉斯变换。

$$R(s)=\frac{1}{s}$$

考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

将 $R(s)=\frac{1}{s}$ 代入上式。

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left ( \frac{1}{s} \right )=\frac{1}{s\left ( sT+1 \right )}$$

对 C(s) 进行部分分式分解。

$$C(s)=\frac{1}{s\left ( sT+1 \right )}=\frac{A}{s}+\frac{B}{sT+1}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{s\left ( sT+1 \right )}=\frac{A\left ( sT+1 \right )+Bs}{s\left ( sT+1 \right )}$$

在两边，分母项是相同的。因此，它们将相互抵消。因此，将分子项相等。

$$1=A\left ( sT+1 \right )+Bs$$

通过将两边的常数项相等，您将得到 A = 1。

将 A = 1 代入，并将两边的 **s** 系数相等。

$$0=T+B \Rightarrow B=-T$$

将 A = 1 和 B = −T 代入 $C(s)$ 的部分分式展开式中。

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{T}{sT+1}=\frac{1}{s}-\frac{T}{T\left ( s+\frac{1}{T} \right )}$$

$$\Rightarrow C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{T}}$$

对两边应用拉普拉斯逆变换。

$$c(t)=\left ( 1-e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )} \right )u(t)$$

单位阶跃响应 c(t) 既有暂态项，也有稳态项。

单位阶跃响应中的暂态项为 -

$$c_{tr}(t)=-e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )}u(t)$$

单位阶跃响应中的稳态项为：

$$c_{ss}(t)=u(t)$$

下图显示了单位阶跃响应。

单位阶跃响应 c(t) 的值在 t = 0 及所有 t 的负值时均为零。它从零值逐渐增加，最终在稳态时达到一。因此，稳态值取决于输入的幅度。

一阶系统的斜坡响应

考虑将单位斜坡信号作为输入信号输入到一阶系统。

$So, r(t)=tu(t)$

对两边应用拉普拉斯变换。

$$R(s)=\frac{1}{s^2}$$

考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

将 $R(s)=\frac{1}{s^2}$ 代入上式。

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left ( \frac{1}{s^2} \right )=\frac{1}{s^2(sT+1)}$$

对 $C(s)$ 进行部分分式分解。

$$C(s)=\frac{1}{s^2(sT+1)}=\frac{A}{s^2}+\frac{B}{s}+\frac{C}{sT+1}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{s^2(sT+1)}=\frac{A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs^2}{s^2(sT+1)}$$

在两边，分母项是相同的。因此，它们将相互抵消。因此，将分子项相等。

$$1=A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs^2$$

通过将两边的常数项相等，您将得到 A = 1。

令 A = 1，并比较两边 s 项的系数。

$$0=T+B \Rightarrow B=-T$$

同样，令 B = −T，并比较两边 $s^2$ 项的系数。你将得到 $C=T^2$。

将 A = 1，B = −T 和 $C = T^2$ 代入 $C(s)$ 的部分分式展开式。

$$C(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T^2}{sT+1}=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T^2}{T\left ( s+\frac{1}{T} \right )}$$

$$\Rightarrow C(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T}{s+\frac{1}{T}}$$

对两边应用拉普拉斯逆变换。

$$c(t)=\left ( t-T+Te^{-\left ( \frac{t}{T} \right )} \right )u(t)$$

单位斜坡响应 c(t) 包含瞬态项和稳态项。

单位斜坡响应中的瞬态项为：

$$c_{tr}(t)=Te^{-\left ( \frac{t}{T} \right )}u(t)$$

单位斜坡响应中的稳态项为：

$$c_{ss}(t)=(t-T)u(t)$$

下图显示了单位斜坡响应。

单位斜坡响应 c(t) 在所有 t 的正值时都遵循单位斜坡输入信号。但是，与输入信号存在 T 个单位的偏差。

一阶系统的抛物线响应

考虑将单位抛物线信号作为输入信号输入到一阶系统。

So, $r(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$

对两边应用拉普拉斯变换。

$$R(s)=\frac{1}{s^3}$$

考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

将 $R(s)=\frac{1}{s^3}$ 代入上式。

$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left( \frac{1}{s^3} \right )=\frac{1}{s^3(sT+1)}$$

对 $C(s)$ 进行部分分式分解。

$$C(s)=\frac{1}{s^3(sT+1)}=\frac{A}{s^3}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s}+\frac{D}{sT+1}$$

简化后，你将分别得到 A、B、C 和 D 的值为 1、$-T、\: T^2\: 和 \: −T^3$。将这些值代入上述 $C(s)$ 的部分分式展开式。

$C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^3}{sT+1} \: \Rightarrow C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^2}{s+\frac{1}{T}}$

对两边应用拉普拉斯逆变换。

$$c(t)=\left ( \frac{t^2}{2} -Tt+T^2-T^2e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )} \right )u(t)$$

单位抛物线响应 c(t) 包含瞬态项和稳态项。

单位抛物线响应中的瞬态项为

$$C_{tr}(t)=-T^2e^{-\left ( \frac{t}{T} \right )}u(t)$$

单位抛物线响应中的稳态项为

$$C_{ss}(t)=\left ( \frac{t^2}{2} -Tt+T^2 \right )u(t)$$

从这些响应中，我们可以得出结论：对于斜坡和抛物线输入，一阶控制系统不稳定，因为这些响应即使在无限长的时间内也会不断增加。对于脉冲和阶跃输入，一阶控制系统是稳定的，因为这些响应具有有界输出。但是，脉冲响应没有稳态项。因此，阶跃信号广泛用于时域中根据其响应分析控制系统。

二阶系统的响应

在本章中，我们将讨论二阶系统的时域响应。考虑以下闭环控制系统的框图。这里，开环传递函数 $\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)}$ 与单位负反馈连接。

我们知道，具有单位负反馈的闭环控制系统的传递函数为

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$

将 $G(s)=\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)}$ 代入上式。

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\left (\frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)} \right )}{1+ \left ( \frac{\omega ^2_n}{s(s+2\delta \omega_n)} \right )}=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta \omega _ns+\omega _n^2}$$

分母项中 's' 的幂为二。因此，上述传递函数是二阶的，并且该系统被称为二阶系统。

特征方程为：

$$s^2+2\delta \omega _ns+\omega _n^2=0$$

特征方程的根为：

$$s=\frac{-2\omega \delta _n\pm \sqrt{(2\delta\omega _n)^2-4\omega _n^2}}{2}=\frac{-2(\delta\omega _n\pm \omega _n\sqrt{\delta ^2-1})}{2}$$

$$\Rightarrow s=-\delta \omega_n \pm \omega _n\sqrt{\delta ^2-1}$$

• 当 δ = 0 时，两根为虚数。
• 当 δ = 1 时，两根为实数且相等。
• 当 δ > 1 时，两根为不相等的实数。
• 当 0 < δ < 1 时，两根为复共轭数。

我们可以将 $C(s)$ 方程写为：

$$C(s)=\left ( \frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2} \right )R(s)$$

其中：

• C(s) 是输出信号 c(t) 的拉普拉斯变换

• R(s) 是输入信号 r(t) 的拉普拉斯变换

• ω_n 是固有频率

• δ 是阻尼比。

按照以下步骤获得时域中二阶系统的响应（输出）。

• 对输入信号 $r(t)$ 进行拉普拉斯变换。

• 考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2} \right )R(s)$

• 将 $R(s)$ 值代入上式。

• 如果需要，对 $C(s)$ 进行部分分式分解。

• 对 $C(s)$ 应用拉普拉斯逆变换。

二阶系统的阶跃响应

考虑将单位阶跃信号作为输入信号输入到二阶系统。

单位阶跃信号的拉普拉斯变换为：

$$R(s)=\frac{1}{s}$$

我们知道二阶闭环控制系统的传递函数为：

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

情况 1：δ = 0

将 $\delta = 0$ 代入传递函数。

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2} \right )R(s)$$

将 $R(s) = \frac{1}{s}$ 代入上式。

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{s^2+\omega_n^2} \right )\left( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s(s^2+\omega_n^2)}$$

对两边应用拉普拉斯逆变换。

$$c(t)=\left ( 1-\cos(\omega_n t) \right )u(t)$$

因此，当 $/delta = 0$ 时，二阶系统的单位阶跃响应将是一个具有恒定幅度和频率的连续时间信号。

情况 2：δ = 1

将 $/delta = 1$ 代入传递函数。

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\omega_ns+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2} \right)R(s)$$

将 $R(s) = \frac{1}{s}$ 代入上式。

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2} \right)\left ( \frac{1}{s} \right)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}$$

对 $C(s)$ 进行部分分式分解。

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\omega_n}+\frac{C}{(s+\omega_n)^2}$$

简化后，你将分别得到 A、B 和 C 的值为 $1,\: -1\: 和 \: −\omega _n$。将这些值代入上述 $C(s)$ 的部分分式展开式。

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\omega_n}-\frac{\omega_n}{(s+\omega_n)^2}$$

对两边应用拉普拉斯逆变换。

$$c(t)=(1-e^{-\omega_nt}-\omega _nte^{-\omega_nt})u(t)$$

因此，二阶系统的单位阶跃响应将试图在稳态下达到阶跃输入。

情况 3：0 < δ < 1

我们可以修改传递函数的分母项如下：

$$s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2=\left \{ s^2+2(s)(\delta \omega_n)+(\delta \omega_n)^2 \right \}+\omega_n^2-(\delta\omega_n)^2$$

$$=(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)$$

传递函数变为：

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)} \right )R(s)$$

将 $R(s) = \frac{1}{s}$ 代入上式。

$$C(s)=\left( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)} \right )\left( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s\left ((s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2) \right)}$$

对 $C(s)$ 进行部分分式分解。

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s\left ((s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2) \right)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

简化后，你将分别得到 A、B 和 C 的值为 $1,\: -1 \: 和 \: −2\delta \omega _n$。将这些值代入上述 $C(s)$ 的部分分式展开式。

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+2\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}-\frac{\delta\omega_n}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\delta^2)}$$

$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\delta\omega_n)}{(s+\delta\omega_n)^2+(\omega_n\sqrt{1-\delta^2})^2}-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( \frac{\omega_n\sqrt{1-\delta^2}}{(s+\delta\omega_n)^2+(\omega_n\sqrt{1-\delta^2})^2} \right )

将 $\omega_n\sqrt{1-\delta^2}$ 作为 $\omega_d$ 代入上式。

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\delta\omega_n)}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_d^2}-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( \frac{\omega_d}{(s+\delta\omega_n)^2+\omega_d^2} \right )$$

对两边应用拉普拉斯逆变换。

$$c(t)=\left ( 1-e^{-\delta \omega_nt}\cos(\omega_dt)-\frac{\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}e^{-\delta\omega_nt}\sin(\omega_dt) \right )u(t)$$

$$c(t)=\left ( 1-\frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}}\left ( (\sqrt{1-\delta^2})\cos(\omega_dt)+\delta \sin(\omega_dt) \right ) \right )u(t)$$

如果 $\sqrt{1-\delta^2}=\sin(\theta)$，则 'δ' 将为 cos(θ)。将这些值代入上式。

$$c(t)=\left ( 1-\frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}}(\sin(\theta)\cos(\omega_dt)+\cos(\theta)\sin(\omega_dt)) \right )u(t)$$

$$\Rightarrow c(t)=\left ( 1-\left ( \frac{e^{-\delta\omega_nt}}{\sqrt{1-\delta^2}} \right )\sin(\omega_dt+\theta) \right )u(t)$$

因此，当 'δ' 在零和一之间时，二阶系统的单位阶跃响应具有阻尼振荡（幅度减小）。

情况 4：δ > 1

我们可以修改传递函数的分母项如下：

$$s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2=\left \{ s^2+2(s)(\delta\omega_n)+(\delta\omega_n)^2 \right \}+\omega_n^2-(\delta\omega_n)^2$$

$$=\left ( s+\delta\omega_n \right )^2-\omega_n^2\left ( \delta^2-1 \right )$$

传递函数变为：

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-\omega_n^2(\delta^2-1)}$$

$$\Rightarrow C(s)=\left ( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-\omega_n^2(\delta^2-1)} \right )R(s)$$

将 $R(s) = \frac{1}{s}$ 代入上式。

$C(s)=\left ( \frac{\omega_n^2}{(s+\delta\omega_n)^2-(\omega_n\sqrt{\delta^2-1})^2} \right )\left ( \frac{1}{s} \right )=\frac{\omega_n^2}{s(s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})(s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})}$

对 $C(s)$ 进行部分分式分解。

$$C(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})(s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})}$$

$$=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1}}+\frac{C}{s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1}}$$

简化后，你将分别得到 A、B 和 C 的值为 1、$\frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}$ 和 $\frac{-1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}$。将这些值代入上述 $C(s)$ 的部分分式展开式。

$$C(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})}\left ( \frac{1}{s+\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1}} \right )-\left ( \frac{1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )\left ( \frac{1}{s+\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1}} \right )$$

对两边应用拉普拉斯逆变换。

$c(t)=\left ( 1+\left ( \frac{1}{2(\delta+\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )e^{-(\delta\omega_n+\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t}-\left ( \frac{1}{2(\delta-\sqrt{\delta^2-1})(\sqrt{\delta^2-1})} \right )e^{-(\delta\omega_n-\omega_n\sqrt{\delta^2-1})t} \right )u(t)$

由于它是过阻尼的，因此当 δ > 1 时，二阶系统的单位阶跃响应将永远无法在稳态下达到阶跃输入。

二阶系统的脉冲响应

可以使用以下两种方法之一获得二阶系统的脉冲响应。

• 在推导阶跃响应的过程中，将 $R(s)$ 的值视为 1 而不是 $\frac{1}{s}$，遵循相关的步骤。

• 对阶跃响应进行微分。

下表显示了对于阻尼比的四种情况，二阶系统的脉冲响应。

时域指标

本章讨论二阶系统的时域指标。下图显示了欠阻尼情况下二阶系统的阶跃响应。

所有时域指标都在此图中表示。达到稳定时间之前的响应称为暂态响应，稳定时间之后的响应称为稳态响应。

延迟时间

它是响应从零时刻达到**最终值的一半**所需的时间。用t_d表示。

考虑二阶系统在t ≥ 0时的阶跃响应，其中‘δ’介于零和一之间。

c(t) = 1 - (e^-δω_nt/√(1-δ²))sin(ω_dt+θ)

阶跃响应的最终值为1。

因此，在t=t_d时，阶跃响应的值为0.5。将这些值代入上式。

c(t_d) = 0.5 = 1 - (e^-δω_nt_d/√(1-δ²))sin(ω_dt_d+θ)

=> (e^-δω_nt_d/√(1-δ²))sin(ω_dt_d+θ) = 0.5

使用线性逼近，可以得到**延迟时间t_d**为

t_d = (1+0.7δ)/ω_n

上升时间

它是响应从**最终值的0%上升到100%**所需的时间。这适用于**欠阻尼系统**。对于过阻尼系统，考虑从最终值的10%到90%的持续时间。上升时间用**t_r**表示。

当t = t₁ = 0时，c(t) = 0。

我们知道阶跃响应的最终值为1。

因此，在t = t₂时，阶跃响应的值为1。将这些值代入下式。

c(t) = 1 - (e^-δω_nt/√(1-δ²))sin(ω_dt+θ)

c(t₂) = 1 = 1 - (e^-δω_nt₂/√(1-δ²))sin(ω_dt₂+θ)

=> (e^-δω_nt₂/√(1-δ²))sin(ω_dt₂+θ) = 0

=> sin(ω_dt₂+θ) = 0

=> ω_dt₂+θ = π

=> t₂ = (π-θ)/ω_d

将t₁和t₂的值代入以下**上升时间**方程：

t_r = t₂ - t₁

∴ t_r = (π-θ)/ω_d

从上式可以看出，上升时间t_r和阻尼频率ω_d成反比。

峰值时间

它是响应第一次达到**峰值**所需的时间。用t_p表示。在t = t_p时，响应的一阶导数为零。

我们知道欠阻尼情况下二阶系统的阶跃响应为

c(t) = 1 - (e^-δω_nt/√(1-δ²))sin(ω_dt+θ)

对c(t)关于‘t’求导。

dc(t)/dt = -(e^-δω_nt/√(1-δ²))ω_dcos(ω_dt+θ) - (-δω_ne^-δω_nt/√(1-δ²))sin(ω_dt+θ)

将t=t_p和dc(t)/dt=0代入上式。

0 = -(e^-δω_nt_p/√(1-δ²))[ω_dcos(ω_dt_p+θ)-δω_nsin(ω_dt_p+θ)]

=> ω_n√(1-δ²)cos(ω_dt_p+θ) - δω_nsin(ω_dt_p+θ) = 0

=> √(1-δ²)cos(ω_dt_p+θ) - δsin(ω_dt_p+θ) = 0

=> sin(θ)cos(ω_dt_p+θ) - cos(θ)sin(ω_dt_p+θ) = 0

=> sin(θ-ω_dt_p-θ) = 0

=> sin(-ω_dt_p) = 0 => -sin(ω_dt_p) = 0 => sin(ω_dt_p) = 0

=> ω_dt_p = π

=> t_p = π/ω_d

从上式可以看出，峰值时间t_p和阻尼频率ω_d成反比。

峰值超调

峰值超调**M_p**定义为响应在峰值时间与响应最终值的偏差。也称为**最大超调**。

数学上，我们可以写成

M_p = c(t_p) - c(∞)

其中：

c(t_p)是响应的峰值。

c(∞)是响应的最终值（稳态值）。

在t = t_p时，响应c(t)为：

c(t_p) = 1 - (e^-δω_nt_p/√(1-δ²))sin(ω_dt_p+θ)

将t_p = π/ω_d代入上式的右边。

c(t_p) = 1 - (e^{-δω_n(π/ω_d)}/√(1-δ²))sin(ω_d(π/ω_d)+θ)

=> c(t_p) = 1 - (e^{-(δπ/√(1-δ2))}/√(1-δ²))(-sin(θ))

我们知道

sin(θ) = √(1-δ²)

所以，我们可以得到c(t_p)为

c(t_p) = 1 + e^{-(δπ/√(1-δ2))}

将c(t_p)和c(∞)的值代入峰值超调方程。

M_p = 1 + e^{-(δπ/√(1-δ2))} - 1

=> M_p = e^{-(δπ/√(1-δ2))}

可以使用此公式计算**峰值超调百分比%**M_p。

%M_p = (M_p/c(∞)) × 100%

将M_p和c(∞)的值代入上式，我们可以得到峰值超调百分比%M_p为

%M_p = (e^{-(δπ/√(1-δ2))}) × 100%

从上式可以看出，如果阻尼比δ增大，峰值超调百分比%M_p将减小。

稳定时间

它是响应达到稳态并保持在最终值周围指定容差带内所需的时间。通常，容差带为2%和5%。稳定时间用t_s表示。

5%容差带的稳定时间为：

t_s = 3/(δω_n) = 3τ

2%容差带的稳定时间为：

t_s = 4/(δω_n) = 4τ

其中，τ是时间常数，等于1/(δω_n)。

• 稳定时间t_s和时间常数τ都与阻尼比δ成反比。

• 稳定时间t_s和时间常数τ都与系统增益无关。这意味着即使系统增益发生变化，稳定时间t_s和时间常数τ也不会改变。

示例

现在让我们求出具有闭环传递函数4/(s²+2s+4)的控制系统的时域指标，当单位阶跃信号作为输入信号施加到该控制系统时。

我们知道二阶闭环控制系统的传递函数的标准形式为

ω_n²/(s²+2δω_ns+ω_n²)

通过将这两个传递函数相等，我们可以得到无阻尼固有频率ω_n为2 rad/sec，阻尼比δ为0.5。

我们知道阻尼频率ω_d的公式为

ω_d = ω_n√(1-δ²)

将ω_n和δ的值代入上式。

=> ω_d = 2√(1-(0.5)²)

=> ω_d = 1.732 rad/sec

将δ值代入以下关系式

θ = cos^-1δ

=> θ = cos^-1(0.5) = π/3 rad

将上述必要的值代入每个时域指标的公式中并简化，以获得给定传递函数的时域指标的值。

下表显示了时域指标的公式、在公式中代入必要的值以及最终值。

控制系统 - 稳态误差

控制系统输出在稳态期间与期望响应的偏差称为**稳态误差**。用e_ss表示。我们可以使用终值定理求出稳态误差，如下所示。

e_ss = lim_t→∞e(t) = lim_s→0sE(s)

其中：

E(s)是误差信号e(t)的拉普拉斯变换。

让我们逐一讨论如何分别求出单位反馈和非单位反馈控制系统的稳态误差。

单位反馈系统的稳态误差

考虑以下闭环控制系统的框图，它具有单位负反馈。

其中：

• R(s)是参考输入信号r(t)的拉普拉斯变换
• C(s)是输出信号c(t)的拉普拉斯变换

我们知道单位负反馈闭环控制系统的传递函数为

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$

=> C(s) = R(s)G(s)/(1+G(s))

加法点的输出为：

E(s) = R(s) - C(s)

将C(s)的值代入上式。

E(s) = R(s) - R(s)G(s)/(1+G(s))

=> E(s) = (R(s) + R(s)G(s) - R(s)G(s))/(1+G(s))

=> E(s) = R(s)/(1+G(s))

将E(s)的值代入稳态误差公式

e_ss = lim_s→0 sR(s)/(1+G(s))

下表显示了对于单位阶跃、单位斜坡和单位抛物线信号等标准输入信号的稳态误差和误差常数。

其中，K_p、K_v和K_a分别为位置误差常数、速度误差常数和加速度误差常数。

**注意** - 如果上述任何输入信号的幅度不为1，则将相应的稳态误差乘以该幅度。

**注意** - 我们无法定义单位冲激信号的稳态误差，因为它只存在于原点。因此，我们无法将冲激响应与单位冲激输入进行比较，因为**t**表示无穷大。

示例

让我们求出具有G(s) = 5(s+4)/(s²(s+1)(s+20))的单位负反馈控制系统的输入信号r(t) = (5+2t+t²/2)u(t)的稳态误差。

给定的输入信号是三个信号（阶跃、斜坡和抛物线）的组合。下表显示了这三个信号的误差常数和稳态误差值。

通过将上述三个稳态误差相加，我们可以得到总的稳态误差。

e_ss = e_ss1 + e_ss2 + e_ss3

=> e_ss = 0 + 0 + 1 = 1

因此，对于此示例，我们得到的稳态误差e_ss为**1**。

非单位反馈系统的稳态误差

考虑以下闭环控制系统的框图，它具有非单位负反馈。

我们只能为单位反馈系统求出稳态误差。因此，我们必须将非单位反馈系统转换为单位反馈系统。为此，在上述框图中添加一个单位正反馈路径和一个单位负反馈路径。新的框图如下所示。

保持单位负反馈不变，简化上述框图。简化后的框图如下所示。

该框图类似于单位负反馈闭环控制系统的框图。这里，单个模块的传递函数为$\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)-G(s)}$，而不是$G(s)$。现在可以使用单位负反馈系统的稳态误差公式计算稳态误差。

注意 − 对不稳定的闭环系统求稳态误差是没有意义的。因此，我们只需要计算闭环稳定系统的稳态误差。这意味着在求稳态误差之前，我们需要检查控制系统是否稳定。在下一章中，我们将讨论与稳定性相关的概念。

控制系统 - 稳定性

稳定性是一个重要的概念。本章，让我们讨论系统的稳定性和基于稳定性的系统类型。

什么是稳定性？

如果系统的输出处于受控状态，则称该系统为稳定系统；否则，则称其为不稳定系统。对于给定的有界输入，稳定系统产生有界输出。

下图显示了稳定系统的响应。

这是单位阶跃输入的一阶控制系统的响应。该响应的值介于0和1之间，因此是有界输出。我们知道，单位阶跃信号在包括零在内的所有正值t处的值均为1。因此，它是界输入。因此，由于输入和输出都是有界的，所以一阶控制系统是稳定的。

基于稳定性的系统类型

我们可以根据稳定性对系统进行如下分类。

• 绝对稳定系统
• 条件稳定系统
• 临界稳定系统

绝对稳定系统

如果系统在所有系统组件值范围内都稳定，则称为绝对稳定系统。如果开环传递函数的所有极点都位于‘s’平面的左半平面，则开环控制系统是绝对稳定的。类似地，如果闭环传递函数的所有极点都位于‘s’平面的左半平面，则闭环控制系统是绝对稳定的。

条件稳定系统

如果系统在某个系统组件值范围内稳定，则称为条件稳定系统。

临界稳定系统

如果系统通过产生具有恒定幅度和恒定频率振荡的有界输出信号而稳定，则称为临界稳定系统。如果开环传递函数的任何两个极点都位于虚轴上，则开环控制系统是临界稳定的。类似地，如果闭环传递函数的任何两个极点都位于虚轴上，则闭环控制系统是临界稳定的。

控制系统 - 稳定性分析

本章，让我们使用Routh-Hurwitz稳定性判据讨论‘s’域中的稳定性分析。在这个判据中，我们需要特征方程来确定闭环控制系统的稳定性。

Routh-Hurwitz稳定性判据

Routh-Hurwitz稳定性判据具有一个稳定性的必要条件和一个充分条件。如果任何控制系统都不满足必要条件，则可以说该控制系统是不稳定的。但是，如果控制系统满足必要条件，则它可能稳定也可能不稳定。因此，充分条件有助于确定控制系统是否稳定。

Routh-Hurwitz稳定性的必要条件

必要条件是特征多项式的系数应为正。这意味着特征方程的所有根都应具有负实部。

考虑'n'阶的特征方程为：

$$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0=0$$

注意，n^th阶特征方程中不应缺少任何项。这意味着n^th阶特征方程不应有任何系数为零。

Routh-Hurwitz稳定性的充分条件

充分条件是Routh表第一列的所有元素都应具有相同的符号。这意味着Routh表第一列的所有元素都应为正或为负。

Routh表法

如果特征方程的所有根都存在于‘s’平面的左半平面，则控制系统是稳定的。如果特征方程的至少一个根存在于‘s’平面的右半平面，则控制系统是不稳定的。因此，我们必须找到特征方程的根才能知道控制系统是稳定的还是不稳定的。但是，随着阶数的增加，找到特征方程的根变得困难。

因此，为了克服这个问题，我们有Routh表法。在这种方法中，不需要计算特征方程的根。首先构造Routh表，然后找到Routh表第一列中符号变化的次数。Routh表第一列中符号变化的次数给出了存在于‘s’平面右半平面的特征方程根的个数，控制系统是不稳定的。

按照此步骤构造Routh表。

• 用特征多项式的系数填充Routh表的首两行，如下表所示。从$s^n$的系数开始，一直到$s^0$的系数。

• 用下表中提到的元素填充Routh表的其余行。继续此过程，直到得到第$s^0$行的第一列元素为$a_n$。这里，$a_n$是特征多项式中$s^0$的系数。

注意 − 如果Routh表的任何一行元素具有某些公因子，则可以用该因子除以该行元素，以便简化。

下表显示了n阶特征多项式的Routh表。

$$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0$$

示例

让我们找到具有特征方程的控制系统的稳定性，

$$s^4+3s^3+3s^2+2s+1=0$$

步骤1 − 验证Routh-Hurwitz稳定性的必要条件。

特征多项式$s^4+3s^3+3s^2+2s+1$的所有系数都为正。因此，控制系统满足必要条件。

步骤2 − 为给定的特征多项式构造Routh表。

步骤3 − 验证Routh-Hurwitz稳定性的充分条件。

Routh表第一列的所有元素都为正。Routh表第一列中没有符号变化。因此，控制系统是稳定的。

Routh表的特殊情况

在构造Routh表时，我们可能会遇到两种情况。从这两种情况中很难完成Routh表。

这两种特殊情况是：

• Routh表的任何一行的第一个元素为零。
• Routh表的任何一行的所有元素都为零。

让我们逐一讨论如何克服这两种情况下的困难。

Routh表的任何一行的第一个元素为零

如果Routh表的任何一行只有第一个元素为零，而至少一个剩余元素的值不为零，则用一个小的正整数$\epsilon$替换第一个元素。然后继续完成Routh表的步骤。现在，通过将$\epsilon$趋于零来查找Routh表第一列中符号变化的次数。

示例

让我们找到具有特征方程的控制系统的稳定性，

$$s^4+2s^3+s^2+2s+1=0$$

步骤1 − 验证Routh-Hurwitz稳定性的必要条件。

特征多项式$s^4+2s^3+s^2+2s+1$的所有系数都为正。因此，控制系统满足必要条件。

步骤2 − 为给定的特征多项式构造Routh表。

$s^3$行的元素具有2作为公因子。因此，所有这些元素都除以2。

特殊情况（i） − $s^2$行的只有第一个元素为零。因此，用$\epsilon$替换它，并继续完成Routh表的步骤。

步骤3 − 验证Routh-Hurwitz稳定性的充分条件。

当$\epsilon$趋于零时，Routh表如下所示。

Routh表的第一列有两个符号变化。因此，控制系统是不稳定的。

Routh表的任何一行的所有元素都为零

在这种情况下，请遵循以下两个步骤：

• 写出恰好在零行上方的行的辅助方程A(s)。

• 对方程A(s)关于s求导。用这些系数填充零行。

示例

让我们找到具有特征方程的控制系统的稳定性，

$$s^5+3s^4+s^3+3s^2+s+3=0$$

步骤1 − 验证Routh-Hurwitz稳定性的必要条件。

给定特征多项式的所有系数都为正。因此，控制系统满足必要条件。

步骤2 − 为给定的特征多项式构造Routh表。

$s^4$行的元素具有3的公因子。因此，所有这些元素都除以3。

特殊情况（ii） − $s^3$行的所有元素都为零。因此，编写$s^4$行的辅助方程A(s)。

$$A(s)=s^4+s^2+1$$

对方程关于s求导。

$$\frac{\text{d}A(s)}{\text{d}s}=4s^3+2s$$

将这些系数放在$s^3$行。

步骤3 − 验证Routh-Hurwitz稳定性的充分条件。

Routh表的第一列有两个符号变化。因此，控制系统是不稳定的。

在Routh-Hurwitz稳定性判据中，我们可以知道闭环极点位于‘s’平面的左半平面、右半平面还是虚轴上。因此，我们无法找到控制系统的性质。为了克服这一限制，有一种称为根轨迹的技术。我们将在接下来的两章中讨论这种技术。

控制系统 - 根轨迹

在根轨迹图中，我们可以观察到闭环极点的路径。因此，我们可以识别控制系统的性质。在这种技术中，我们将使用开环传递函数来了解闭环控制系统的稳定性。

根轨迹的基础

根轨迹是通过将系统增益K从零变化到无穷大而得到的特征方程根的轨迹。

我们知道，闭环控制系统的特征方程是

$$1+G(s)H(s)=0$$

我们可以将$G(s)H(s)$表示为

$$G(s)H(s)=K\frac{N(s)}{D(s)}$$

其中：

• K代表乘法因子

• N(s)代表具有's'的n阶多项式（因式分解）的分子项。

• D(s)代表具有's'的m阶多项式（因式分解）的分母项。

将$G(s)H(s)$的值代入特征方程。

$$1+k\frac{N(s)}{D(s)}=0$$

$$\Rightarrow D(s)+KN(s)=0$$

情况1 − K = 0

如果 $K=0$，则 $D(s)=0$。

这意味着，当 K 为零时，闭环极点等于开环极点。

情况 2 − K = ∞

将上述特征方程改写为

$$K\left(\frac{1}{K}+\frac{N(s)}{D(s)} \right )=0 \Rightarrow \frac{1}{K}+\frac{N(s)}{D(s)}=0$$

在上述方程中代入 $K = \infty$。

$$\frac{1}{\infty}+\frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow \frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow N(s)=0$$

如果 $K=\infty$，则 $N(s)=0$。这意味着当 K 为无穷大时，闭环极点等于开环零点。

从以上两种情况可以得出结论：根轨迹分支始于开环极点，终止于开环零点。

角度条件和幅值条件

根轨迹分支上的点满足角度条件。因此，角度条件用于判断点是否存在于根轨迹分支上。我们可以利用幅值条件找到根轨迹分支上点的 K 值。因此，我们可以对满足角度条件的点使用幅值条件。

闭环控制系统的特征方程为

$$1+G(s)H(s)=0$$

$$\Rightarrow G(s)H(s)=-1+j0$$

$G(s)H(s)$ 的相角为

$$\angle G(s)H(s)=\tan^{-1}\left ( \frac{0}{-1} \right )=(2n+1)\pi$$

角度条件是指开环传递函数的角度为 180⁰ 的奇数倍的点。

$G(s)H(s)$ 的幅值为 −

$$|G(s)H(s)|=\sqrt {(-1)^2+0^2}=1$$

幅值条件是指（满足角度条件的）开环传递函数幅值为 1 的点。

根轨迹的绘制

根轨迹是 s 域中的图形表示，它关于实轴对称。因为开环极点和零点存在于 s 域中，其值可以是实数或复共轭对。本章我们讨论如何构造（绘制）根轨迹。

根轨迹绘制规则

遵循以下规则绘制根轨迹。

规则 1 − 在 ‘s’ 平面上定位开环极点和零点。

规则 2 − 找出根轨迹分支的数量。

我们知道根轨迹分支始于开环极点，终止于开环零点。因此，根轨迹分支数 N 等于有限开环极点数 P 或有限开环零点数 Z 中的较大者。

数学上，我们可以将根轨迹分支数 N 写成

N=P，如果 $P\geq Z$

N=Z，如果 $P

规则 3 − 识别并绘制实轴根轨迹分支。

如果某点开环传递函数的角度为 180⁰ 的奇数倍，则该点位于根轨迹上。如果实轴上某点左侧存在奇数个开环极点和零点，则该点位于根轨迹分支上。因此，满足此条件的点分支为根轨迹分支的实轴。

规则 4 − 找出渐近线的中心和角度。

• 如果 $P = Z$，则所有根轨迹分支都始于有限开环极点，终止于有限开环零点。

• 如果 $P > Z$，则 Z 个根轨迹分支始于有限开环极点，终止于有限开环零点，而 $P − Z$ 个根轨迹分支始于有限开环极点，终止于无限开环零点。

• 如果 $P < Z$，则 P 个根轨迹分支始于有限开环极点，终止于有限开环零点，而 $Z − P$ 个根轨迹分支始于无限开环极点，终止于有限开环零点。

因此，当 $P \neq Z$ 时，一些根轨迹分支趋于无穷大。渐近线给出这些根轨迹分支的方向。渐近线在实轴上的交点称为中心。

我们可以用这个公式计算中心 α，

$\alpha = \frac{\sum 有限开环极点的实部\:-\sum 有限开环零点的实部}{P-Z}$

渐近线角度 θ 的公式为

$$\theta=\frac{(2q+1)180^0}{P-Z}$$

其中：

$$q=0,1,2,....,(P-Z)-1$$

规则 5 − 找出根轨迹分支与虚轴的交点。

我们可以利用劳斯数组法和特殊情况 (ii) 计算根轨迹分支与虚轴的交点以及该点的K 值。

• 如果劳斯数组的任何一行的所有元素都为零，则根轨迹分支与虚轴相交，反之亦然。

• 以这样的方式识别行：如果我们将第一个元素设为零，则整行的元素都为零。找到此组合的K 值。

• 将此K 值代入辅助方程。您将得到根轨迹分支与虚轴的交点。

规则 6 − 找出分离点和汇合点。

• 如果在两个开环极点之间存在实轴根轨迹分支，则这两个开环极点之间将存在一个分离点。

• 如果在两个开环零点之间存在实轴根轨迹分支，则这两个开环零点之间将存在一个汇合点。

注意 − 分离点和汇合点仅存在于实轴根轨迹分支上。

按照以下步骤查找分离点和汇合点。

• 从特征方程 $1 + G(s)H(s) = 0$ 中写出 K 关于 s 的表达式。

• 对 K 关于 s 求导，并使其等于零。将这些 s 值代入上述方程。

• K 值为正的 s 值是断点。

规则 7 − 找出离去角和到达角。

分别可以在复共轭开环极点和复共轭开环零点处计算离去角和到达角。

离去角 $\phi_d$ 的公式为

$$\phi_d=180^0-\phi$$

到达角 $\phi_a$ 的公式为

$$\phi_a=180^0+\phi$$

其中：

$$\phi=\sum \phi_P-\sum \phi_Z$$

示例

现在让我们绘制具有开环传递函数 $G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+5)}$ 的控制系统的根轨迹。

步骤 1 − 给定的开环传递函数在 $s = 0, s = −1$ 和 $s = −5$ 处有三个极点。它没有任何零点。因此，根轨迹分支的数量等于开环传递函数的极点数。

$$N=P=3$$

三个极点的位置如上图所示。$s = −1$ 和 $s = 0$ 之间的线段是实轴上根轨迹的一个分支。实轴上根轨迹的另一个分支是 $s = −5$ 左侧的线段。

步骤 2 − 我们将使用给定的公式得到中心和渐近线角度的值。

中心 $\alpha = −2$

渐近线角度为 $\theta = 60^0,180^0$ 和 $300^0$。

中心和三条渐近线如下图所示。

步骤 3 − 由于两条渐近线的角度为 $60^0$ 和 $300^0$，因此两个根轨迹分支与虚轴相交。使用劳斯数组法和特殊情况 (ii)，根轨迹分支与虚轴在 $j\sqrt{5}$ 和 $−j\sqrt{5}$ 处相交。

在极点 $s = −1$ 和 $s = 0$ 之间的实轴根轨迹分支上将存在一个分离点。按照给出的计算分离点的步骤，我们将得到 $s = −0.473$。

给定控制系统的根轨迹图如下图所示。

通过这种方式，您可以绘制任何控制系统的根轨迹图，并观察闭环传递函数极点的移动。

从根轨迹图中，我们可以知道不同类型阻尼的 K 值范围。

添加开环极点和零点对根轨迹的影响

可以通过添加开环极点和开环零点来移动‘s’ 平面中的根轨迹。

• 如果我们在开环传递函数中包含一个极点，则一些根轨迹分支将移向 ‘s’ 平面的右半部分。因此，阻尼比 $\delta$ 减小。这意味着阻尼频率 $\omega_d$ 增加，时域指标如延迟时间 $t_d$、上升时间 $t_r$ 和峰值时间 $t_p$ 减小。但这会影响系统稳定性。

• 如果我们在开环传递函数中包含一个零点，则一些根轨迹分支将移向 ‘s’ 平面的左半部分。因此，它将提高控制系统的稳定性。在这种情况下，阻尼比 $\delta$ 增加。这意味着阻尼频率 $\omega_d$ 减小，时域指标如延迟时间 $t_d$、上升时间 $t_r$ 和峰值时间 $t_p$ 增加。

因此，基于需求，我们可以将开环极点或零点包含（添加）到传递函数中。

频率响应分析

我们已经讨论了控制系统的时域响应分析和二阶控制系统的时域指标。本章，我们讨论控制系统的频域响应分析和二阶控制系统的频域指标。

什么是频域响应？

系统的响应可以分为瞬态响应和稳态响应。我们可以使用傅里叶积分求出瞬态响应。系统对正弦输入信号的稳态响应称为频域响应。本章，我们将只关注稳态响应。

如果将正弦信号作为输入应用于线性时不变 (LTI) 系统，则它会产生稳态输出，该输出也是正弦信号。输入和输出正弦信号具有相同的频率，但幅度和相角不同。

设输入信号为 −

$$r(t)=A\sin(\omega_0t)$$

开环传递函数将为 −

$$G(s)=G(j\omega)$$

我们可以用如下所示的幅值和相位来表示 $G(j\omega)$。

$$G(j\omega)=|G(j\omega)| \angle G(j\omega)$$

将$\omega = \omega_0$代入上式。

$$G(j\omega_0)=|G(j\omega_0)| \angle G(j\omega_0)$$

输出信号为

$$c(t)=A|G(j\omega_0)|\sin(\omega_0t + \angle G(j\omega_0))$$

• 输出正弦信号的幅度是通过将输入正弦信号的幅度与$G(j\omega)$在$\omega = \omega_0$处的幅值相乘得到的。

• 输出正弦信号的相位是通过将输入正弦信号的相位与$G(j\omega)$在$\omega = \omega_0$处的相位相加得到的。

其中：

• A是输入正弦信号的幅度。

• ω₀是输入正弦信号的角频率。

我们可以将角频率$\omega_0$写成如下形式：

$$\omega_0=2\pi f_0$$

这里，$f_0$是输入正弦信号的频率。同样，对于闭环控制系统，您可以遵循相同的步骤。

频域指标

频域指标为谐振峰值、谐振频率和带宽。

考虑二阶闭环控制系统的传递函数为：

$$T(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$

将$s = j\omega$代入上式。

$$T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{(j\omega)^2+2\delta\omega_n(j\omega)+\omega_n^2}$$

$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{-\omega^2+2j\delta\omega\omega_n+\omega_n^2}=\frac{\omega_n^2}{\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} \right )}$$

$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{1}{\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2} \right )+j\left ( \frac{2\delta\omega}{\omega_n} \right )}$$

令$\frac{\omega}{\omega_n}=u$，并将此值代入上式。

$$T(j\omega)=\frac{1}{(1-u^2)+j(2\delta u)}$$

$T(j\omega)$的幅值为：

$$M=|T(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt {(1-u^2)^2+(2\delta u)^2}}$$

$T(j\omega)$的相位为：

$$\angle T(j\omega)=-tan^{-1}\left( \frac{2\delta u}{1-u^2} \right )$$

谐振频率

它是频率响应的幅值第一次达到峰值的频率。用$\omega_r$表示。在$\omega = \omega_r$时，$T(j\omega)$幅值的导数为零。

对M关于u求导。

$$\frac{\text{d}M}{\text{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u)^2 \right ]^{\frac{-3}{2}} \left [2(1-u^2)(-2u)+2(2\delta u)(2\delta) \right ]$$

$$\Rightarrow \frac{\text{d}M}{\text{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u)^2 \right ]^{\frac{-3}{2}} \left [4u(u^2-1 +2\delta^2) \right ]$$

将$u=u_r$和$\frac{\text{d}M}{\text{d}u}==0$代入上式。

$$0=-\frac{1}{2}\left [ (1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2 \right ]^{-\frac{3}{2}}\left [ 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2) \right ]$$

$$\Rightarrow 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2)=0$$

$$\Rightarrow u_r^2-1+2\delta^2=0$$

$$\Rightarrow u_r^2=1-2\delta^2$$

$$\Rightarrow u_r=\sqrt{1-2\delta^2}$$

将$u_r=\frac{\omega_r}{\omega_n}$代入上式。

$$\frac{\omega_r}{\omega_n}=\sqrt{1-2\delta^2}$$

$$\Rightarrow \omega_r=\omega_n \sqrt{1-2\delta^2}$$

谐振峰值

它是$T(j\omega)$幅值的峰值（最大值）。用$M_r$表示。

在$u = u_r$时，$T(j\omega)$的幅值为：

$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2}}$$

将$u_r = \sqrt{1 − 2\delta^2}$和$1 − u_r^2 = 2\delta^2$代入上式。

$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(2\delta^2)^2+(2\delta \sqrt{1-2\delta^2})^2}}$$

$$\Rightarrow M_r=\frac{1}{2\delta \sqrt {1-\delta^2}}$$

频率响应中的谐振峰值与某些阻尼比$\delta$值下的时域瞬态响应中的峰值超调量相关。因此，谐振峰值和峰值超调量是相互关联的。

带宽

它是$T(j\omega)$的幅值从其零频率值下降到70.7%的频率范围。

在$\omega = 0$时，u的值为零。

将$u = 0$代入M。

$$M=\frac{1}{\sqrt {(1-0^2)^2+(2\delta(0))^2}}=1$$

因此，$T(j\omega)$的幅值在$\omega = 0$时为1。

在3-dB频率处，$T(j\omega)$的幅值将是$T(j\omega)$在$\omega = 0$处幅值的70.7%。

即，在$\omega = \omega_B$处，$M = 0.707(1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$$\Rightarrow M=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{(1-u_b^2)^2+(2\delta u_b)^2}}$$

$$\Rightarrow 2=(1-u_b^2)^2+(2\delta)^2 u_b^2$$

令$u_b^2=x$

$$\Rightarrow 2=(1-x)^2+(2\delta)^2 x$$

$$\Rightarrow x^2+(4\delta^2-2)x-1=0$$

$$\Rightarrow x=\frac{-(4\delta^2 -2)\pm \sqrt{(4\delta^2-2)^2+4}}{2}$$

只考虑x的正值。

$$x=1-2\delta^2+\sqrt {(2\delta^2-1)^2+1}$$

$$\Rightarrow x=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$

将$x=u_b^2=\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}$代入。

$$\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$

$$\Rightarrow \omega_b=\omega_n \sqrt {1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}}$$

频率响应中的带宽$\omega_b$与时域瞬态响应中的上升时间$t_r$成反比。

控制系统 - 波特图

伯德图或伯德图由两幅图组成：

• 幅频特性图
• 相频特性图

在这两幅图中，x轴表示角频率（对数刻度）。而y轴在幅频特性图中表示开环传递函数的幅值（线性刻度），在相频特性图中表示开环传递函数的相角（线性刻度）。

开环传递函数的幅值（以dB表示）为：

$$M=20\: \log|G(j\omega)H(j\omega)|$$

开环传递函数的相角（以度表示）为：

$$\phi=\angle G(j\omega)H(j\omega)$$

注意 - 对数的底数为10。

伯德图基础

下表显示了开环传递函数中各分母项的斜率、幅值和相角值。绘制伯德图时，这些数据非常有用。

考虑开环传递函数$G(s)H(s) = K$。

幅值 $M = 20\: \log K$ dB

相角 $\phi = 0$ 度

如果$K = 1$，则幅值为0 dB。

如果$K > 1$，则幅值将为正。

如果$K < 1$，则幅值将为负。

下图显示了相应的伯德图。

幅频特性图是一条水平线，与频率无关。当K值为1时，0 dB线本身就是幅频特性图。对于K的正值，水平线将向上移动$20 \:\log K$ dB。对于K的负值，水平线将向下移动$20\: \log K$ dB。对于K的所有正值，零度线本身就是相频特性图。

考虑开环传递函数$G(s)H(s) = s$。

幅值 $M = 20 \log \omega$ dB

相角 $\phi = 90^0$

在$\omega = 0.1$ rad/sec时，幅值为-20 dB。

在$\omega = 1$ rad/sec时，幅值为0 dB。

在$\omega = 10$ rad/sec时，幅值为20 dB。

下图显示了相应的伯德图。

幅频特性图是一条斜率为20 dB/dec的直线。这条线从$\omega = 0.1$ rad/sec开始，幅值为-20 dB，并沿相同的斜率继续延伸。它在$\omega = 1$ rad/sec处与0 dB线相交。在这种情况下，相频特性图是90⁰线。

考虑开环传递函数$G(s)H(s) = 1 + s\tau$。

幅值 $M = 20\: log \sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$ dB

相角 $\phi = \tan^{-1}\omega\tau$ 度

对于$ω < \frac{1}{\tau}$，幅值为0 dB，相角为0度。

对于$\omega > \frac{1}{\tau}$，幅值为$20\: \log \omega\tau$ dB，相角为90⁰。

下图显示了相应的伯德图。

幅频特性图在$\omega=\frac{1}{\tau}$ rad/sec之前幅值为0 dB。从$\omega = \frac{1}{\tau}$ rad/sec开始，其斜率为20 dB/dec。在这种情况下，相频特性图在$\omega = \frac{1}{\tau}$ rad/sec之前相角为0度，从这里开始，其相角为90⁰。这个伯德图被称为渐近伯德图。

由于幅频特性图和相频特性图都用直线表示，因此精确的伯德图与渐近伯德图相似。唯一的区别在于精确的伯德图将具有简单的曲线而不是直线。

同样，您可以为表中给出的开环传递函数的其他项绘制伯德图。

控制系统 - 伯德图的绘制

在本章中，让我们详细了解如何绘制伯德图。

伯德图绘制规则

绘制伯德图时，请遵循以下规则。

• 将开环传递函数表示为标准时间常数形式。

• 将$s=j\omega$代入上式。

• 找到转折频率，并按升序排列。

• 将伯德图的起始频率视为最小转折频率的1/10或0.1 rad/sec（取较小值），并绘制到最大转折频率的10倍。

• 为每一项绘制幅频特性图，并将这些图正确地组合起来。

• 为每一项绘制相频特性图，并将这些图正确地组合起来。

注意 - 转折频率是幅频特性图斜率发生变化的频率。

示例

考虑闭环控制系统的开环传递函数

$$G(s)H(s)=\frac{10s}{(s+2)(s+5)}$$

让我们将这个开环传递函数转换为标准时间常数形式。

$$G(s)H(s)=\frac{10s}{2\left( \frac{s}{2}+1 \right )5 \left( \frac{s}{5}+1 \right )}$$

$$\Rightarrow G(s)H(s)=\frac{s}{\left( 1+\frac{s}{2} \right )\left( 1+\frac{s}{5} \right )}$$

因此，我们可以使用前面提到的规则在半对数坐标纸上绘制伯德图。

利用伯德图进行稳定性分析

从伯德图中，我们可以根据这些参数的值判断控制系统是稳定的、临界稳定的还是不稳定的。

• 增益交越频率和相位交越频率
• 增益裕度和相位裕度

相位交越频率

相频特性图的相位为-180⁰的频率称为相位交越频率。用$\omega_{pc}$表示。相位交越频率的单位为rad/sec。

增益穿越频率

幅值曲线幅值为0dB时的频率称为增益穿越频率，用$\omega_{gc}$表示。增益穿越频率的单位为rad/sec。

控制系统的稳定性取决于相位穿越频率和增益穿越频率之间的关系，如下所示。

• 如果相位穿越频率$\omega_{pc}$大于增益穿越频率$\omega_{gc}$，则控制系统为稳定的。

• 如果相位穿越频率$\omega_{pc}$等于增益穿越频率$\omega_{gc}$，则控制系统为临界稳定的。

• 如果相位穿越频率$\omega_{pc}$小于增益穿越频率$\omega_{gc}$，则控制系统为不稳定的。

增益裕度

增益裕度$GM$等于相位穿越频率下幅值(dB)的负值。

$$GM=20\log\left( \frac{1}{M_{pc}}\right )= -20\log{M_{pc}}$$

其中，$M_{pc}$是相位穿越频率下的幅值。增益裕度(GM)的单位为dB。

相位裕度

相位裕度$PM$的公式为

$$PM=180^0+\phi_{gc}$$

其中，$\phi_{gc}$是增益穿越频率下的相位角。相位裕度的单位为度。

控制系统的稳定性取决于增益裕度和相位裕度之间的关系，如下所示。

• 如果增益裕度$GM$和相位裕度$PM$均为正，则控制系统为稳定的。

• 如果增益裕度$GM$和相位裕度$PM$均为零，则控制系统为临界稳定的。

• 如果增益裕度$GM$和/或相位裕度$PM$为负，则控制系统为不稳定的。

控制系统 - 极坐标图

在前面的章节中，我们讨论了Bode图。在那里，我们分别绘制了幅值和相位与频率的关系图。现在让我们讨论极坐标图。极坐标图是在幅值和相位之间绘制的曲线图。这里，幅值仅用普通值表示。

$G(j\omega)H(j\omega)$的极坐标形式为

$$G(j\omega)H(j\omega)=|G(j\omega)H(j\omega)| \angle G(j\omega)H(j\omega)$$

极坐标图是通过改变$\omega$从零到∞，在$G(j\omega)H(j\omega)$的幅值和相位角之间绘制的曲线图。极坐标图纸如下所示。

该图纸由同心圆和径向线组成。同心圆和径向线分别表示幅值和相位角。这些角度以逆时针方向的正值表示。类似地，我们可以用顺时针方向的负值表示角度。例如，逆时针方向的270⁰角等于顺时针方向的−90⁰角。

绘制极坐标图的规则

遵循以下规则绘制极坐标图。

• 在开环传递函数中代入$s = j\omega$。

• 写出$G(j\omega)H(j\omega)$的幅值和相位的表达式。

• 通过代入$\omega = 0$，找到$G(j\omega)H(j\omega)$的起始幅值和相位。因此，极坐标图从此幅值和相位角开始。

• 通过代入$\omega = \infty$，找到$G(j\omega)H(j\omega)$的结束幅值和相位。因此，极坐标图以此幅值和相位角结束。

• 通过使$G(j\omega)H(j\omega)$的虚部等于零并找到$\omega$的值，检查极坐标图是否与实轴相交。

• 通过使$G(j\omega)H(j\omega)$的实部等于零并找到$\omega$的值，检查极坐标图是否与虚轴相交。

• 为了更清晰地绘制极坐标图，请考虑$\omega$的其他值，找到$G(j\omega)H(j\omega)$的幅值和相位。

示例

考虑闭环控制系统的开环传递函数。

$$G(s)H(s)=\frac{5}{s(s+1)(s+2)}$$

让我们使用上述规则绘制该控制系统的极坐标图。

步骤1 - 在开环传递函数中代入$s = j\omega$。

$$G(j\omega)H(j\omega)=\frac{5}{j\omega(j\omega+1)(j\omega+2)}$$

开环传递函数的幅值为

$$M=\frac{5}{\omega(\sqrt{\omega^2+1})(\sqrt{\omega^2+4})}$$

开环传递函数的相位角为

$$\phi=-90^0-\tan^{-1}\omega-\tan^{-1}\frac{\omega}{2}$$

步骤2 - 下表显示了开环传递函数在$\omega = 0$ rad/sec和$\omega = \infty$ rad/sec时的幅值和相位角。

-270 或 90

因此，极坐标图从(∞,−90⁰)开始，在(0,−270⁰)结束。括号中的第一项和第二项分别表示幅值和相位角。

步骤3 - 基于起始和结束极坐标，该极坐标图将与负实轴相交。对应于负实轴的相位角为−180⁰或180⁰。因此，通过将开环传递函数的相位角等于−180⁰或180⁰，我们将得到$\omega$值为$\sqrt{2}$。

通过在开环传递函数的幅值中代入$\omega = \sqrt{2}$，我们将得到$M = 0.83$。因此，当$\omega = \sqrt{2}$时，极坐标图与负实轴相交，极坐标为(0.83,−180⁰)。

控制系统 - 奈奎斯特图

因此，我们可以使用上述信息在极坐标图纸上绘制极坐标图。

奈奎斯特图是极坐标图的延续，通过将ω从−∞变到∞来确定闭环控制系统的稳定性。这意味着奈奎斯特图用于绘制开环传递函数的完整频率响应。

奈奎斯特稳定性判据

奈奎斯特稳定性判据基于幅角原理。它指出，如果's'平面闭合路径包含P个极点和Z个零点，则对应的$G(s)H(s)$平面必须绕原点旋转$P − Z$圈。因此，我们可以将环绕数N写成：

• $$N=P-Z$$

• 如果封闭的's'平面闭合路径仅包含极点，则$G(s)H(s)$平面中环绕的方向将与's'平面中封闭闭合路径的方向相反。

如果封闭的's'平面闭合路径仅包含零点，则$G(s)H(s)$平面中环绕的方向将与's'平面中封闭闭合路径的方向相同。

现在让我们通过将其选为闭合路径，将幅角原理应用于's'平面的整个右半部分。此选择的路径称为奈奎斯特轮廓。

• 我们知道，如果闭环传递函数的所有极点都在's'平面的左半部分，则闭环控制系统是稳定的。因此，闭环传递函数的极点就是特征方程的根。随着特征方程阶数的增加，很难找到根。因此，让我们关联这些特征方程的根，如下所示。

• 特征方程的极点与开环传递函数的极点相同。

特征方程的零点与闭环传递函数的极点相同。

我们知道，如果's'平面的右半部分没有开环极点，则开环控制系统是稳定的。

即，$P=0 \Rightarrow N=-Z$

我们知道，如果's'平面的右半部分没有闭环极点，则闭环控制系统是稳定的。

即，$Z=0 \Rightarrow N=P$

奈奎斯特稳定性判据指出，围绕临界点(1+j0)的环绕数必须等于特征方程的极点数，也就是's'平面右半部分开环传递函数的极点数。将原点移到(1+j0)得到特征方程平面。

绘制奈奎斯特图的规则

• 遵循以下规则绘制奈奎斯特图。

• 在's'平面上找到开环传递函数$G(s)H(s)$的极点和零点。

• 通过将$\omega$从零变到无穷大来绘制极坐标图。如果极点或零点出现在s = 0处，则在绘制极坐标图时将ω从0+变到无穷大。

• 绘制上述极坐标图在ω范围从−∞到零(如果s=0处存在任何极点或零点，则为0⁻)时的镜像。

无穷大半圆的个数将等于原点处极点或零点的个数。无穷大半圆将从极坐标图镜像结束的点开始。这个无穷大半圆将结束在极坐标图开始的点。

绘制奈奎斯特图后，我们可以使用奈奎斯特稳定性判据找到闭环控制系统的稳定性。如果临界点(-1+j0)位于环绕之外，则闭环控制系统绝对稳定。

使用奈奎斯特图进行稳定性分析

• 增益交越频率和相位交越频率
• 增益裕度和相位裕度

相位交越频率

从奈奎斯特图中，我们可以根据这些参数的值确定控制系统是稳定、临界稳定还是不稳定。

增益穿越频率

奈奎斯特图与负实轴相交(相位角为180⁰)时的频率称为相位穿越频率，用$\omega_{pc}$表示。

奈奎斯特图幅值为1时的频率称为增益穿越频率，用$\omega_{gc}$表示。

• 如果相位穿越频率$\omega_{pc}$大于增益穿越频率$\omega_{gc}$，则控制系统为稳定的。

• 如果相位穿越频率$\omega_{pc}$等于增益穿越频率$\omega_{gc}$，则控制系统为临界稳定的。

• 控制系统的稳定性取决于相位穿越频率和增益穿越频率之间的关系，如下所示。

增益裕度

如果相位穿越频率$\omega_{pc}$小于增益穿越频率$\omega_{gc}$，则控制系统为不稳定的。

增益裕度$GM$等于奈奎斯特图在相位穿越频率下幅值的倒数。

$$GM=\frac{1}{M_{pc}}$$

相位裕度

其中，$M_{pc}$是相位穿越频率下普通比例尺的幅值。

$$PM=180^0+\phi_{gc}$$

相位裕度$PM$等于180⁰与增益穿越频率下相位角的和。

$$PM = 180^\circ + \phi_{gc}$$

• 其中，$\phi_{gc}$是增益穿越频率下的相位角。

• 控制系统的稳定性取决于增益裕度和相位裕度之间的关系，如下所示。

• 如果增益裕度$GM$大于1且相位裕度$PM$为正，则控制系统为稳定的。

控制系统 - 校正器

如果增益裕度$GM$等于1且相位裕度$PM$为零度，则控制系统为临界稳定的。

如果增益裕度$GM$小于1和/或相位裕度$PM$为负，则控制系统为不稳定的。

补偿器有三种类型：滞后、超前和滞后-超前补偿器。这些是最常用的。

滞后补偿器

该滞后补偿器的传递函数为：

$$\frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{s + \frac{1}{\tau}}{s + \frac{1}{\alpha\tau}} \right)$$

其中：

$$\tau = R_2C$$

$$\alpha = \frac{R_1 + R_2}{R_2}$$

从上式可以看出，α 总是大于 1。

从传递函数可以看出，滞后补偿器在 s = −1/(ατ) 处有一个极点，在 s = −1/τ 处有一个零点。这意味着在滞后补偿器的零极点配置中，极点更靠近原点。

将 s = jω 代入传递函数。

$$\frac{V_o(j\omega)}{V_i(j\omega)} = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{j\omega + \frac{1}{\tau}}{j\omega + \frac{1}{\alpha\tau}} \right)$$

相位角 φ = arctan(ωτ) − arctan(αωτ)

我们知道，输出正弦信号的相位等于输入正弦信号和传递函数的相位角之和。

因此，为了在该补偿器的输出端产生相位滞后，传递函数的相位角应为负值。当 α > 1 时，这种情况就会发生。

超前补偿器

超前补偿器是一种电网络，当施加正弦输入时，它会产生具有相位超前的正弦输出。's' 域中的超前补偿器电路如下图所示。

这里，电容与电阻 R₁ 并联，输出在电阻 R₂ 上测量。

该超前补偿器的传递函数为：

$$\frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \beta \left( \frac{s\tau + 1}{\beta s\tau + 1} \right)$$

其中：

$$\tau = R_1C$$

$$\beta = \frac{R_2}{R_1 + R_2}$$

从传递函数可以看出，超前补偿器在 s = −1/β 处有一个极点，在 s = −1/(βτ) 处有一个零点。

将 s = jω 代入传递函数。

$$\frac{V_o(j\omega)}{V_i(j\omega)} = \beta \left( \frac{j\omega\tau + 1}{\beta j\omega\tau + 1} \right)$$

相位角 φ = arctan(ωτ) − arctan(βωτ)

我们知道，输出正弦信号的相位等于输入正弦信号和传递函数的相位角之和。

因此，为了在该补偿器的输出端产生相位超前，传递函数的相位角应为正值。当 0 < β < 1 时，这种情况就会发生。因此，在超前补偿器的零极点配置中，零点更靠近原点。

滞后-超前补偿器

滞后-超前补偿器是一种电网络，它在一个频率区域产生相位滞后，而在另一个频率区域产生相位超前。它是滞后补偿器和超前补偿器的组合。's' 域中的滞后-超前补偿器电路如下图所示。

该电路看起来像是两个补偿器级联连接。因此，该电路的传递函数将是超前补偿器和滞后补偿器传递函数的乘积。

$$\frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \beta \left( \frac{s\tau_1 + 1}{\beta s\tau_1 + 1} \right) \frac{1}{\alpha} \left( \frac{s + \frac{1}{\tau_2}}{s + \frac{1}{\alpha\tau_2}} \right)$$

我们知道 αβ = 1。

$$\Rightarrow \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \left( \frac{s + \frac{1}{\tau_1}}{s + \frac{1}{\beta\tau_1}} \right) \left( \frac{s + \frac{1}{\tau_2}}{s + \frac{1}{\alpha\tau_2}} \right)$$

其中：

$$\tau_1 = R_1C_1$$

$$\tau_2 = R_2C_2$$

控制系统 - 控制器

各种类型的控制器用于提高控制系统的性能。本章将讨论基本的控制器，例如比例、微分和积分控制器。

比例控制器

比例控制器产生一个与误差信号成比例的输出。

$$u(t) \propto e(t)$$

$$\Rightarrow u(t) = K_P e(t)$$

对两边进行拉普拉斯变换：

$$U(s) = K_P E(s)$$

$$\frac{U(s)}{E(s)} = K_P$$

因此，比例控制器的传递函数为 K_P。

其中：

U(s) 是执行信号 u(t) 的拉普拉斯变换

E(s) 是误差信号 e(t) 的拉普拉斯变换

K_P 是比例常数

带有比例控制器的单位负反馈闭环控制系统的框图如下图所示。

比例控制器用于根据要求更改暂态响应。

微分控制器

微分控制器产生一个为误差信号导数的输出。

$$u(t) = K_D \frac{de(t)}{dt}$$

对等式两边进行拉普拉斯变换。

$$U(s) = K_D sE(s)$$

$$\frac{U(s)}{E(s)} = K_D s$$

因此，微分控制器的传递函数为 K_Ds。

其中，K_D 是微分常数。

带有微分控制器的单位负反馈闭环控制系统的框图如下图所示。

微分控制器用于将不稳定的控制系统变为稳定的控制系统。

积分控制器

积分控制器产生一个为误差信号积分的输出。

$$u(t) = K_I \int e(t) dt$$

对两边进行拉普拉斯变换：

$$U(s) = \frac{K_I E(s)}{s}$$

$$\frac{U(s)}{E(s)} = \frac{K_I}{s}$$

因此，积分控制器的传递函数为 K_I/s。

其中，K_I 是积分常数。

带有积分控制器的单位负反馈闭环控制系统的框图如下图所示。

积分控制器用于减小稳态误差。

现在让我们讨论一下基本控制器的组合。

比例微分 (PD) 控制器

比例微分控制器产生一个比例控制器和微分控制器的输出组合的输出。

$$u(t) = K_P e(t) + K_D \frac{de(t)}{dt}$$

对两边进行拉普拉斯变换：

$$U(s) = (K_P + K_D s)E(s)$$

$$\frac{U(s)}{E(s)} = K_P + K_D s$$

因此，比例微分控制器的传递函数为 K_P + K_Ds。

带有比例微分控制器的单位负反馈闭环控制系统的框图如下图所示。

比例微分控制器用于提高控制系统的稳定性，而不影响稳态误差。

比例积分 (PI) 控制器

比例积分控制器产生一个比例控制器和积分控制器的输出组合的输出。

$$u(t) = K_P e(t) + K_I \int e(t) dt$$

对两边进行拉普拉斯变换：

$$U(s) = \left( K_P + \frac{K_I}{s} \right) E(s)$$

$$\frac{U(s)}{E(s)} = K_P + \frac{K_I}{s}$$

因此，比例积分控制器的传递函数为 K_P + K_I/s。

带有比例积分控制器的单位负反馈闭环控制系统的框图如下图所示。

比例积分控制器用于减小稳态误差，而不影响控制系统的稳定性。

比例积分微分 (PID) 控制器

比例积分微分控制器产生一个比例、积分和微分控制器的输出组合的输出。

$$u(t) = K_P e(t) + K_I \int e(t) dt + K_D \frac{de(t)}{dt}$$

对两边进行拉普拉斯变换：

$$U(s) = \left( K_P + \frac{K_I}{s} + K_D s \right) E(s)$$

$$\frac{U(s)}{E(s)} = K_P + \frac{K_I}{s} + K_D s$$

因此，比例积分微分控制器的传递函数为 K_P + K_I/s + K_Ds。

带有比例积分微分控制器的单位负反馈闭环控制系统的框图如下图所示。

比例积分微分控制器用于提高控制系统的稳定性并减小稳态误差。

控制系统 - 状态空间模型

线性时不变 (LTI) 系统的状态空间模型可以表示为：

$$\dot{X} = AX + BU$$

$$Y = CX + DU$$

第一和第二个方程分别称为状态方程和输出方程。

其中：

• X 和 $\dot{X}$ 分别是状态向量和微分状态向量。

• U 和 Y 分别是输入向量和输出向量。

• A 是系统矩阵。

• B 和 C 是输入和输出矩阵。

• D 是前馈矩阵。

状态空间模型的基本概念

本章涉及以下基本术语。

状态

它是一组变量，用于总结系统的历史，以便预测未来的值（输出）。

状态变量

所需状态变量的数量等于系统中存在的存储元件的数量。

示例 - 流过电感的电流，跨电容的电压

状态向量

它是一个向量，包含状态变量作为元素。

在前面的章节中，我们讨论了控制系统的两种数学模型。它们是微分方程模型和传递函数模型。状态空间模型可以从这两个数学模型中的任何一个获得。现在让我们逐一讨论这两种方法。

从微分方程获得状态空间模型

考虑以下 RLC 串联电路。它有一个输入电压 v_i(t)，电路中流过的电流为 i(t)。

该电路中有两个存储元件（电感和电容）。因此，状态变量的数量等于二，这些状态变量是流过电感的电流 i(t) 和跨电容的电压 v_c(t)。

从电路图中，输出电压 v_o(t) 等于跨电容的电压 v_c(t)。

$$v_o(t) = v_c(t)$$

应用 KVL 环路定律。

$$v_i(t) = Ri(t) + L\frac{di(t)}{dt} + v_c(t)$$

$$\Rightarrow \frac{di(t)}{dt} = -\frac{Ri(t)}{L} - \frac{v_c(t)}{L} + \frac{v_i(t)}{L}$$

跨电容的电压为：

$$v_c(t) = \frac{1}{C} \int i(t) dt$$

对上式关于时间求导。

$$\frac{dv_c(t)}{dt} = \frac{i(t)}{C}$$

状态向量，X = $\begin{bmatrix} i(t) \\ v_c(t) \end{bmatrix}$

微分状态向量，$\dot{X} = \begin{bmatrix} \frac{di(t)}{dt} \\ \frac{dv_c(t)}{dt} \end{bmatrix}$

我们可以将微分方程和输出方程排列成状态空间模型的标准形式，如下所示：

$$\dot{X} = \begin{bmatrix} \frac{di(t)}{dt} \\ \frac{dv_c(t)}{dt} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{R}{L} & -\frac{1}{L} \\ \frac{1}{C} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i(t) \\ v_c(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{L} \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_i(t) \end{bmatrix}$$

$$Y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i(t) \\ v_c(t) \end{bmatrix}$$

其中：

$$A = \begin{bmatrix} -\frac{R}{L} & -\frac{1}{L} \\ \frac{1}{C} & 0 \end{bmatrix}, \: B = \begin{bmatrix} \frac{1}{L} \\ 0 \end{bmatrix}, \: C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \: 和 \: D = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}$$

从传递函数获得状态空间模型

考虑基于分子中存在的项类型的两种传递函数。

• 分子中具有常数项的传递函数。
• 分子中具有's'的多项式函数的传递函数。

分子中具有常数项的传递函数

考虑以下系统的传递函数

$$\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + ... + a_1s + a_0}$$

重新排列上述等式为

$$(s^n + a_{n-1}s^{n-1} + ... + a_0)Y(s) = b_0 U(s)$$

对两边应用拉普拉斯逆变换。

$$\frac{d^ny(t)}{dt^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}} + ... + a_1\frac{dy(t)}{dt} + a_0y(t) = b_0 u(t)$$

令

$$y(t) = x_1$$

$$\frac{dy(t)}{dt} = x_2 = \dot{x}_1$$

$$\frac{d^2y(t)}{dt^2} = x_3 = \dot{x}_2$$

$$.$$

$$.$$

$$.$$

$$\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}} = x_n = \dot{x}_{n-1}$$

$$\frac{d^ny(t)}{dt^n} = \dot{x}_n$$

和 u(t) = u

然后，

$$\dot{x}_n + a_{n-1}x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u$$

从上述等式，我们可以写出以下状态方程。

$$\dot{x}_n = -a_0x_1 - a_1x_2 - ... - a_{n-1}x_n + b_0 u$$

输出方程为：

$$y(t) = y = x_1$$

状态空间模型为：

$\dot{X} = \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \vdots \\ \dot{x}_{n-1} \\ \dot{x}_n \end{bmatrix}$

$$=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\-a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\0 \\\vdots \\0 \\b_0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u \end{bmatrix}$$

$$Y=\begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}$$

此处，$D=\left [ 0 \right ]$。

示例

求具有下列传递函数的系统的状态空间模型。

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+s+1}$$

将上述方程改写为：

$$(s^2+s+1)Y(s)=U(s)$$

对两边应用拉普拉斯逆变换。

$$\frac{\text{d}^2y(t)}{\text{d}t^2}+\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}+y(t)=u(t)$$

令

$$y(t) = x_1$$

$$\frac{dy(t)}{dt} = x_2 = \dot{x}_1$$

和 u(t) = u

则状态方程为

$$\dot{x}_2=-x_1-x_2+u$$

输出方程为

$$y(t) = y = x_1$$

状态空间模型为

$$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1 \\-1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix}\left [u \right ]$$

$$Y=\begin{bmatrix}1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}$$

分子为s的多项式函数的传递函数

考虑以下系统的传递函数

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_n s^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1 s+a_0}$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)}=\left( \frac{1}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1 s+a_0} \right )(b_n s^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0)$$

上述方程是两个级联模块的传递函数乘积的形式。

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\left(\frac{V(s)}{U(s)} \right ) \left(\frac{Y(s)}{V(s)} \right )$$

此处，

$$\frac{V(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1 s+a_0}$$

重新排列上述等式为

$$(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0)V(s)=U(s)$$

对两边应用拉普拉斯逆变换。

$$\frac{\text{d}^nv(t)}{\text{d}t^n}+a_{n-1}\frac{\text{d}^{n-1}v(t)}{\text{d}t^{n-1}}+...+a_1 \frac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}+a_0v(t)=u(t)$$

令

$$v(t)=x_1$$

$$\frac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}=x_2=\dot{x}_1$$

$$\frac{\text{d}^2v(t)}{\text{d}t^2}=x_3=\dot{x}_2$$

$$.$$

$$.$$

$$.$$

$$\frac{\text{d}^{n-1}v(t)}{\text{d}t^{n-1}}=x_n=\dot{x}_{n-1}$$

$$\frac{\text{d}^nv(t)}{\text{d}t^n}=\dot{x}_n$$

和 u(t) = u

则状态方程为

$$\dot{x}_n=-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n+u$$

考虑：

$$\frac{Y(s)}{V(s)}=b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0$$

重新排列上述等式为

$$Y(s)=(b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0)V(s)$$

对两边应用拉普拉斯逆变换。

$$y(t)=b_n\frac{\text{d}^nv(t)}{\text{d}t^n}+b_{n-1}\frac{\text{d}^{n-1}v(t)}{\text{d}t^{n-1}}+...+b_1\frac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}+b_0v(t)$$

将状态变量和$y(t)=y$代入上述方程，得到输出方程为：

$$y=b_n\dot{x}_n+b_{n-1}x_n+...+b_1x_2+b_0x_1$$

代入$\dot{x}_n$的值到上述方程。

$$y=b_n(-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n+u)+b_{n-1}x_n+...+b_1x_2+b_0x_1$$

$$y=(b_0-b_na_0)x_1+(b_1-b_na_1)x_2+...+(b_{n-1}-b_na_{n-1})x_n+b_n u$$

状态空间模型为

$\dot{X} = \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \vdots \\ \dot{x}_{n-1} \\ \dot{x}_n \end{bmatrix}$

$$=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\-a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\0 \\\vdots \\0 \\b_0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u \end{bmatrix}$$

$$Y=[b_0-b_na_0 \quad b_1-b_na_1 \quad ... \quad b_{n-2}-b_na_{n-2} \quad b_{n-1}-b_na_{n-1}]\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}$$

如果$b_n = 0$，则：

$$Y=[b_0 \quad b_1 \quad ...\quad b_{n-2} \quad b_{n-1}]\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}$$

控制系统 - 状态空间分析

在上一章中，我们学习了如何从微分方程和传递函数获得状态空间模型。本章，让我们讨论如何从状态空间模型获得传递函数。

从状态空间模型获得传递函数

我们知道线性时不变 (LTI) 系统的状态空间模型为：

$$\dot{X} = AX + BU$$

$$Y = CX + DU$$

对状态方程的两边进行拉普拉斯变换。

$$sX(s)=AX(s)+BU(s)$$

$$\Rightarrow (sI-A)X(s)=BU(s)$$

$$\Rightarrow X(s)=(sI-A)^{-1}BU(s)$$

对输出方程的两边进行拉普拉斯变换。

$$Y(s)=CX(s)+DU(s)$$

代入X(s)的值到上述方程。

$$\Rightarrow Y(s)=C(sI-A)^{-1}BU(s)+DU(s)$$

$$\Rightarrow Y(s)=[C(sI-A)^{-1}B+D]U(s)$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B+D$$

上述方程表示系统的传递函数。因此，我们可以使用此公式计算以状态空间模型表示的系统的传递函数。

注意 − 当$D = [0]$时，传递函数为

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B$$

示例

让我们计算以状态空间模型表示的系统的传递函数，如下所示：

$$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & -1 \\1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}[u]$$

$$Y=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}$$

此处，

$$A=\begin{bmatrix}-1 & -1 \\1 & 0 \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}, \quad C=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix} \quad and \quad D=[0]$$

当$D = [0]$时的传递函数公式为：

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B$$

代入A，B和C矩阵到上述方程。

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}s+1 & 1 \\-1 & s \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)}=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix} \frac{\begin{bmatrix}s & -1 \\1 & s+1 \end{bmatrix}}{(s+1)s-1(-1)}\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}s \\1 \end{bmatrix}}{s^2+s+1}=\frac{1}{s^2+s+1}$$

因此，给定状态空间模型的系统的传递函数为

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+s+1}$$

状态转移矩阵及其性质

如果系统具有初始条件，则它将产生输出。由于即使在没有输入的情况下也存在此输出，因此它被称为零输入响应$x_{ZIR}(t)$。数学上，我们可以将其写成：

$$x_{ZIR}(t)=e^{At}X(0)=L^{-1}\left \{ \left [ sI-A \right ]^{-1}X(0) \right \}$$

从上述关系，我们可以将状态转移矩阵$\phi(t)$写成

$$\phi(t)=e^{At}=L^{-1}[sI-A]^{-1}$$

因此，可以通过将状态转移矩阵$\phi(t)$与初始条件矩阵相乘来获得零输入响应。

以下是状态转移矩阵的性质。

• 如果$t = 0$，则状态转移矩阵将等于单位矩阵。

  $$\phi(0) = I$$

• 状态转移矩阵的逆矩阵与状态转移矩阵相同，只是将‘t’替换为‘-t’。

  $$\phi^{-1}(t) = \phi(−t)$$

• 如果$t = t_1 + t_2$，则对应的状态转移矩阵等于$t = t_1$和$t = t_2$时两个状态转移矩阵的乘积。

  $$\phi(t_1 + t_2) = \phi(t_1) \phi(t_2)$$

可控性和可观测性

现在让我们逐一讨论控制系统的可控性和可观测性。

可控性

如果控制系统的初始状态可以通过有限时间内的受控输入转移（改变）到一些其他期望状态，则称该控制系统是可控的。

我们可以使用卡尔曼检验来检查控制系统的可控性。

• 以如下形式写矩阵$Q_c$。

  $$Q_c=\left [ B \quad AB \quad A^2B \quad ...\quad A^{n-1}B \right ]$$

• 求矩阵$Q_c$的行列式，如果它不等于零，则控制系统是可控的。

可观测性

如果能够通过在有限时间内观察输出确定控制系统的初始状态，则称该控制系统是可观测的。

我们可以使用卡尔曼检验来检查控制系统的可观测性。

• 以如下形式写矩阵$Q_o$。

  $$Q_o=\left [ C^T \quad A^TC^T \quad (A^T)^2C^T \quad ...\quad (A^T)^{n-1}C^T \right ]$$

• 求矩阵$Q_o$的行列式，如果它不等于零，则控制系统是可观测的。

示例

让我们验证以状态空间模型表示的控制系统的可控性和可观测性，如下所示：

$$\dot{x}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & -1 \\1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix} [u]$$

$$Y=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}$$

此处，

$$A=\begin{bmatrix}-1 & -1 \\1 & 0 \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}, D=[0]\quad and \quad n=2$$

对于$n = 2$，矩阵$Q_c$将为

$$Q_c=\left [B \quad AB \right ]$$

我们将得到矩阵A和B的乘积为：

$$AB=\begin{bmatrix}-1 \\1 \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow Q_c =\begin{bmatrix}1 & -1 \\0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$|Q_c|=1 \neq 0$$

由于矩阵$Q_c$的行列式不等于零，因此给定的控制系统是可控的。

对于$n = 2$，矩阵$Q_o$将为：

$$Q_o=\left [C^T \quad A^TC^T \right ]$$

此处，

$$A^T=\begin{bmatrix}-1 & 1 \\-1 & 0 \end{bmatrix} \quad and \quad C^T=\begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix}$$

我们将得到矩阵$A^T$和$C^T$的乘积为

$$A^TC^T=\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow Q_o=\begin{bmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{bmatrix}$$

$$\Rightarrow |Q_o|=-1 \quad \neq 0$$

由于矩阵$Q_o$的行列式不等于零，因此给定的控制系统是可观测的。

因此，给定的控制系统既可控又可观测。