梅森增益公式

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现在让我们讨论梅森增益公式。假设信号流图中存在“N”条前向通路。信号流图的输入节点和输出节点之间的增益只不过是系统的**传递函数**。它可以通过使用梅森增益公式计算。

梅森增益公式为

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\Sigma ^N _{i=1}P_i\Delta _i}{\Delta}$$

其中，

• C(s) 是输出节点

• R(s) 是输入节点

• T 是$R(s)$ 和 $C(s)$ 之间的传递函数或增益

• P_i 是第 i 个前向通路增益

$\Delta =1-(所有单个回路增益之和)$

$+(所有可能的两个互不接触回路的增益乘积之和)$

$$-(所有可能的三个互不接触回路的增益乘积之和)+...$$

Δ_i 由 Δ 通过去除与第 i 个前向通路接触的回路得到.

为了理解这里涉及的基本术语，请考虑以下信号流图。

通路

它是从一个节点到任何其他节点沿着分支方向的遍历。它不应遍历任何节点超过一次。

示例 − $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5$ 和 $y_5 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$

前向通路

从输入节点到输出节点存在的通路称为前向通路。

示例 − $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$ 和 $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$。

前向通路增益

它是通过计算前向通路所有分支增益的乘积获得的。

示例 − $abcde$ 是 $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$ 的前向通路增益，而 $abge$ 是 $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$ 的前向通路增益。

回路

从一个节点开始并在同一节点结束的通路称为回路。因此，它是一个闭合通路。

示例 − $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ 和 $y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$。

回路增益

它是通过计算回路所有分支增益的乘积获得的。

示例 − $b_j$ 是 $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ 的回路增益，而 $g_h$ 是 $y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$ 的回路增益。

互不接触回路

这些是没有任何公共节点的回路。

示例 − 回路 $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$ 和 $y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$ 是互不接触的。

使用梅森增益公式计算传递函数

让我们考虑相同的信号流图来寻找传递函数。

• 前向通路的数量，N = 2。

• 第一条前向通路为 - $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$。

• 第一条前向通路增益，$p_1 = abcde$。

• 第二条前向通路为 - $y_1 \rightarrow y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_6$。

• 第二条前向通路增益，$p_2 = abge$。

• 单个回路的数量，L = 5。

• 回路为 - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$，$y_3 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$，$y_3 \rightarrow y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_3$，$y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$ 和 $y_5 \rightarrow y_5$。

• 回路增益为 - $l_1 = bj$，$l_2 = gh$，$l_3 = cdh$，$l_4 = di$ 和 $l_5 = f$。

• 两个互不接触回路的数量 = 2。

• 第一对互不接触回路为 - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$，$y_4 \rightarrow y_5 \rightarrow y_4$。

• 第一对互不接触回路的增益乘积，$l_1l_4 = bjdi$

• 第二对互不接触回路为 - $y_2 \rightarrow y_3 \rightarrow y_2$，$y_5 \rightarrow y_5$。

• 第二对互不接触回路的增益乘积为 - $l_1l_5 = bjf$

在此信号流图中不存在更高数量的（超过两个）互不接触回路。

我们知道，

$\Delta =1-(所有单个回路增益之和)$

$+(所有可能的两个互不接触回路的增益乘积之和)$

$$-(所有可能的三个互不接触回路的增益乘积之和)+...$$

将这些值代入上述方程，

$\Delta =1-(bj+gh+cdh+di+f)+(bjdi+bjf)-(0)$

$\Rightarrow \Delta=1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf$

没有与第一条前向通路互不接触的回路。

所以，$\Delta_1=1$。

类似地，$\Delta_2=1$。因为没有与第二条前向通路互不接触的回路。

将 N = 2 代入梅森增益公式

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\Sigma ^2 _{i=1}P_i\Delta _i}{\Delta}$$

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{P_1\Delta_1+P_2\Delta_2}{\Delta}$$

将所有必要的值代入上述方程。

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)1+(abge)1}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$

$$\Rightarrow T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)+(abge)}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$

因此，传递函数为 -

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)+(abge)}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$