控制系统 - 状态空间模型

---

---

线性时不变（LTI）系统的状态空间模型可以表示为：

$$\dot{X}=AX+BU$$

$$Y=CX+DU$$

第一个和第二个方程分别称为状态方程和输出方程。

其中：

• X和$\dot{X}$分别为状态向量和微分状态向量。

• U和Y分别为输入向量和输出向量。

• A为系统矩阵。

• B和C分别为输入矩阵和输出矩阵。

• D为前馈矩阵。

状态空间模型的基本概念

本章涉及以下基本术语。

状态

它是一组变量，用于总结系统的历史，以便预测未来的值（输出）。

状态变量

所需状态变量的数量等于系统中存储元件的数量。

示例 - 流过电感的电流，跨电容的电压

状态向量

它是一个向量，其元素包含状态变量。

在前面的章节中，我们讨论了控制系统的两个数学模型。它们分别是微分方程模型和传递函数模型。状态空间模型可以从这两个数学模型中的任何一个获得。现在让我们逐一讨论这两种方法。

从微分方程推导状态空间模型

考虑以下RLC串联电路。它具有输入电压$v_i(t)$，电路中的电流为$i(t)$。

该电路中有两个储能元件（电感和电容）。因此，状态变量的数量等于二，这些状态变量是流过电感的电流$i(t)$和跨电容的电压$v_c(t)$。

从电路可知，输出电压$v_0(t)$等于跨电容的电压$v_c(t)$。

$$v_0(t)=v_c(t)$$

应用基尔霍夫电压定律。

$$v_i(t)=Ri(t)+L\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}+v_c(t)$$

$$\Rightarrow \frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}=-\frac{Ri(t)}{L}-\frac{v_c(t)}{L}+\frac{v_i(t)}{L}$$

跨电容的电压为：

$$v_c(t)=\frac{1}{C} \int i(t) dt$$

对方程关于时间求导。

$$\frac{\text{d}v_c(t)}{\text{d}t}=\frac{i(t)}{C}$$

状态向量，$X=\begin{bmatrix}i(t) \\v_c(t) \end{bmatrix}$

微分状态向量，$\dot{X}=\begin{bmatrix}\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t} \\\frac{\text{d}v_c(t)}{\text{d}t} \end{bmatrix}$

我们可以将微分方程和输出方程排列成状态空间模型的标准形式，如下所示：

$$\dot{X}=\begin{bmatrix}\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t} \\\frac{\text{d}v_c(t)}{\text{d}t} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{R}{L} & -\frac{1}{L} \\\frac{1}{C} & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i(t) \\v_c(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\frac{1}{L} \\0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_i(t) \end{bmatrix}$$

$$Y=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i(t) \\v_c(t) \end{bmatrix}$$

其中：

$$A=\begin{bmatrix}-\frac{R}{L} & -\frac{1}{L} \\\frac{1}{C} & 0 \end{bmatrix}, \: B=\begin{bmatrix}\frac{1}{L} \\0 \end{bmatrix}, \: C=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix} \: 和 \: D=\begin{bmatrix}0 \end{bmatrix}$$

从传递函数推导状态空间模型

根据分子中存在的项类型，考虑两种类型的传递函数。

• 分子中具有常数项的传递函数。
• 分子中具有's'的多项式函数的传递函数。

分子中具有常数项的传递函数

考虑系统的以下传递函数

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0}$$

重新排列上述方程为

$$(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0)Y(s)=b_0 U(s)$$

在两边应用拉普拉斯逆变换。

$$\frac{\text{d}^ny(t)}{\text{d}t^n}+a_{n-1}\frac{\text{d}^{n-1}y(t)}{\text{d}t^{n-1}}+...+a_1\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}+a_0y(t)=b_0 u(t)$$

令

$$y(t)=x_1$$

$$\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}=x_2=\dot{x}_1$$

$$\frac{\text{d}^2y(t)}{\text{d}t^2}=x_3=\dot{x}_2$$

$$.$$

$$.$$

$$.$$

$$\frac{\text{d}^{n-1}y(t)}{\text{d}t^{n-1}}=x_n=\dot{x}_{n-1}$$

$$\frac{\text{d}^ny(t)}{\text{d}t^n}=\dot{x}_n$$

且$u(t)=u$

则

$$\dot{x}_n+a_{n-1}x_n+...+a_1x_2+a_0x_1=b_0 u$$

从上述方程，我们可以写出以下状态方程。

$$\dot{x}_n=-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n+b_0 u$$

输出方程为：

$$y(t)=y=x_1$$

状态空间模型为：

$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \\\vdots \\\dot{x}_{n-1} \\\dot{x}_n \end{bmatrix}$

$$=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & \dotso & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & \dotso & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \dotso & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dotso & 0 & 1 \\-a_0 & -a_1 & -a_2 & \dotso & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\0 \\\vdots \\0 \\b_0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u \end{bmatrix}$$

$$Y=\begin{bmatrix}1 & 0 & \dotso & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}$$

这里，$D=\left [ 0 \right ]。

示例

求具有以下传递函数的系统的状态空间模型。

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+s+1}$$

重新排列上述方程为：

$$(s^2+s+1)Y(s)=U(s)$$

在两边应用拉普拉斯逆变换。

$$\frac{\text{d}^2y(t)}{\text{d}t^2}+\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}+y(t)=u(t)$$

令

$$y(t)=x_1$$

$$\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}=x_2=\dot{x}_1$$

且$u(t)=u$

则状态方程为

$$\dot{x}_2=-x_1-x_2+u$$

输出方程为

$$y(t)=y=x_1$$

状态空间模型为

$$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1 \\-1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix}\left [u \right ]$$

$$Y=\begin{bmatrix}1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \end{bmatrix}$$

分子中具有's'的多项式函数的传递函数

考虑系统的以下传递函数

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_n s^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1 s+a_0}$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)}=\left( \frac{1}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1 s+a_0} \right )(b_n s^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0)$$

上述方程为级联的两个模块的传递函数乘积的形式。

$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\left(\frac{V(s)}{U(s)} \right ) \left(\frac{Y(s)}{V(s)} \right )$$

这里，

$$\frac{V(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1 s+a_0}$$

重新排列上述方程为

$$(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0)V(s)=U(s)$$

在两边应用拉普拉斯逆变换。

$$\frac{\text{d}^nv(t)}{\text{d}t^n}+a_{n-1}\frac{\text{d}^{n-1}v(t)}{\text{d}t^{n-1}}+...+a_1 \frac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}+a_0v(t)=u(t)$$

令

$$v(t)=x_1$$

$$\frac{\text{d}v((t)}{\text{d}t}=x_2=\dot{x}_1$$

$$\frac{\text{d}^2v(t)}{\text{d}t^2}=x_3=\dot{x}_2$$

$$.$$

$$.$$

$$.$$

$$\frac{\text{d}^{n-1}v(t)}{\text{d}t^{n-1}}=x_n=\dot{x}_{n-1}$$

$$\frac{\text{d}^nv(t)}{\text{d}t^n}=\dot{x}_n$$

且$u(t)=u$

则状态方程为

$$\dot{x}_n=-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n+u$$

考虑

$$\frac{Y(s)}{V(s)}=b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0$$

重新排列上述方程为

$$Y(s)=(b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0)V(s)$$

在两边应用拉普拉斯逆变换。

$$y(t)=b_n\frac{\text{d}^nv(t)}{\text{d}t^n}+b_{n-1}\frac{\text{d}^{n-1}v(t)}{\text{d}t^{n-1}}+...+b_1\frac{\text{d}v(t)}{\text{d}t}+b_0v(t)$$

通过将状态变量和$y(t)=y$代入上述方程，我们将得到输出方程为：

$$y=b_n\dot{x}_n+b_{n-1}x_n+...+b_1x_2+b_0x_1$$

代入$\dot{x}_n$的值到上述方程。

$$y=b_n(-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n+u)+b_{n-1}x_n+...+b_1x_2+b_0x_1$$

$$y=(b_0-b_na_0)x_1+(b_1-b_na_1)x_2+...+(b_{n-1}-b_na_{n-1})x_n+b_n u$$

状态空间模型为

$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\\dot{x}_2 \\\vdots \\\dot{x}_{n-1} \\\dot{x}_n \end{bmatrix}$

$$=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & \dotso & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & \dotso & 0 & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \dotso & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dotso & 0 & 1 \\-a_0 & -a_1 & -a_2 & \dotso & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\0 \\\vdots \\0 \\b_0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u \end{bmatrix}$$

$$Y=[b_0-b_na_0 \quad b_1-b_na_1 \quad ... \quad b_{n-2}-b_na_{n-2} \quad b_{n-1}-b_na_{n-1}]\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}$$

如果$b_n = 0$，则

$$Y=[b_0 \quad b_1 \quad ...\quad b_{n-2} \quad b_{n-1}]\begin{bmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_{n-1} \\x_n \end{bmatrix}$$