控制系统 - 伯德图的绘制

在本章中，让我们详细了解如何绘制伯德图。

伯德图绘制规则

在绘制伯德图时，请遵循以下规则。

• 将开环传递函数表示为标准时间常数形式。

• 在上述方程中代入 $s=j\omega$。

• 找到转折频率并按升序排列。

• 将伯德图的起始频率视为最小转折频率的 1/10 或 0.1 rad/sec，取较小值，并将伯德图绘制到最大转折频率的 10 倍。

• 绘制每一项的幅频特性，并将这些特性正确地组合起来。

• 绘制每一项的相频特性，并将这些特性正确地组合起来。

注意 - 转折频率是指幅频特性斜率发生变化的频率。

示例

考虑闭环控制系统的开环传递函数

$$G(s)H(s)=\frac{10s}{(s+2)(s+5)}$$

让我们将此开环传递函数转换为标准时间常数形式。

$$G(s)H(s)=\frac{10s}{2\left( \frac{s}{2}+1 \right )5 \left( \frac{s}{5}+1 \right )}$$

$$\Rightarrow G(s)H(s)=\frac{s}{\left( 1+\frac{s}{2} \right )\left( 1+\frac{s}{5} \right )}$$

因此，我们可以使用前面提到的规则在半对数坐标纸上绘制伯德图。

利用伯德图进行稳定性分析

根据这些参数的值，我们可以从伯德图判断控制系统是稳定的、临界稳定的还是不稳定的。

• 增益交越频率和相位交越频率
• 增益裕度和相位裕度

相位交越频率

相频特性为 -180⁰ 的频率称为相位交越频率。用 $\omega_{pc}$ 表示。相位交越频率的单位为rad/sec。

增益交越频率

幅频特性幅值为零 dB 的频率称为增益交越频率。用 $\omega_{gc}$ 表示。增益交越频率的单位为rad/sec。

控制系统的稳定性基于相位交越频率和增益交越频率之间的关系，如下所示。

• 如果相位交越频率 $\omega_{pc}$ 大于增益交越频率 $\omega_{gc}$，则控制系统为稳定。

• 如果相位交越频率 $\omega_{pc}$ 等于增益交越频率 $\omega_{gc}$，则控制系统为临界稳定。

• 如果相位交越频率 $\omega_{pc}$ 小于增益交越频率 $\omega_{gc}$，则控制系统为不稳定。

增益裕度

增益裕度 $GM$ 等于相位交越频率处幅值的负值（以 dB 为单位）。

$$GM=20\log\left( \frac{1}{M_{pc}}\right )=20logM_{pc}$$

其中，$M_{pc}$ 是相位交越频率处的幅值。增益裕度 (GM) 的单位为dB。

相位裕度

相位裕度 $PM$ 的公式为

$$PM=180^0+\phi_{gc}$$

其中，$\phi_{gc}$ 是增益交越频率处的相位角。相位裕度的单位为度。

控制系统的稳定性基于增益裕度和相位裕度之间的关系，如下所示。

• 如果增益裕度 $GM$ 和相位裕度 $PM$ 均为正，则控制系统为稳定。

• 如果增益裕度 $GM$ 和相位裕度 $PM$ 均等于零，则控制系统为临界稳定。

• 如果增益裕度 $GM$ 和/或相位裕度 $PM$ 为负，则控制系统为不稳定。