控制系统 - 奈奎斯特图

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奈奎斯特图是极坐标图的延续，用于通过改变ω从−∞到∞来确定闭环控制系统的稳定性。这意味着，奈奎斯特图用于绘制开环传递函数的完整频率响应。

奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特稳定判据基于**宗量原理**。它指出，如果‘s’平面闭合路径包含P个极点和Z个零点，则相应的$G(s)H(s)$平面必须绕原点旋转$P − Z$圈。因此，我们可以将环绕次数N写为：

$$N=P-Z$$

• 如果封闭的‘s’平面闭合路径仅包含极点，则$G(s)H(s)$平面中环绕的方向将与‘s’平面中封闭闭合路径的方向相反。

• 如果封闭的‘s’平面闭合路径仅包含零点，则$G(s)H(s)$平面中环绕的方向将与‘s’平面中封闭闭合路径的方向相同。

现在让我们将宗量原理应用于‘s’平面的整个右半部分，将其选为闭合路径。这条选定的路径称为**奈奎斯特**轮廓。

我们知道，如果闭环传递函数的所有极点都在‘s’平面的左半部分，则闭环控制系统是稳定的。因此，闭环传递函数的极点不过是特征方程的根。随着特征方程阶数的增加，找到根变得困难。因此，让我们如下关联这些特征方程的根。

• 特征方程的极点与开环传递函数的极点相同。

• 特征方程的零点与闭环传递函数的极点相同。

我们知道，如果‘s’平面的右半部分没有开环极点，则开环控制系统是稳定的。

即，$P=0 \Rightarrow N=-Z$

我们知道，如果‘s’平面的右半部分没有闭环极点，则闭环控制系统是稳定的。

即，$Z=0 \Rightarrow N=P$

**奈奎斯特稳定判据**指出，围绕临界点(1+j0)的环绕次数必须等于特征方程的极点数，这与‘s’平面的右半部分的开环传递函数的极点数相同。将原点移动到(1+j0)得到特征方程平面。

绘制奈奎斯特图的规则

遵循以下规则绘制奈奎斯特图。

• 在‘s’平面上确定开环传递函数$G(s)H(s)$的极点和零点。

• 通过改变ω从零到无穷大绘制极坐标图。如果在s = 0处存在极点或零点，则为了绘制极坐标图，将ω从0+改变到无穷大。

• 绘制上述极坐标图在ω从−∞到零（如果在s=0处存在任何极点或零点，则为0⁻）范围内的镜像。

• 无限半圆的个数将等于原点处极点或零点的个数。无限半圆将从极坐标图镜像结束的位置开始。并且这个无限半圆将结束在极坐标图开始的位置。

绘制奈奎斯特图后，我们可以使用奈奎斯特稳定判据找到闭环控制系统的稳定性。如果临界点(-1+j0)位于环绕之外，则闭环控制系统绝对稳定。

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使用奈奎斯特图进行稳定性分析

从奈奎斯特图中，我们可以根据这些参数的值识别控制系统是稳定、临界稳定还是不稳定。

• 增益交越频率和相位交越频率
• 增益裕度和相位裕度

相位交越频率

奈奎斯特图与负实轴相交（相位角为180⁰）的频率称为**相位交越频率**。它用$\omega_{pc}$表示。

增益交越频率

奈奎斯特图幅值为1的频率称为**增益交越频率**。它用$\omega_{gc}$表示。

控制系统的稳定性基于相位交越频率和增益交越频率之间的关系，如下所示。

• 如果相位交越频率$\omega_{pc}$大于增益交越频率$\omega_{gc}$，则控制系统**稳定**。

• 如果相位交越频率$\omega_{pc}$等于增益交越频率$\omega_{gc}$，则控制系统**临界稳定**。

• 如果相位交越频率$\omega_{pc}$小于增益交越频率$\omega_{gc}$，则控制系统**不稳定**。

增益裕度

增益裕度$GM$等于奈奎斯特图在相位交越频率处的幅值的倒数。

$$GM=\frac{1}{M_{pc}}$$

其中，$M_{pc}$是在相位交越频率处正常刻度下的幅值。

相位裕度

相位裕度$PM$等于180⁰与增益交越频率处相位角的和。

$$PM=180^0+\phi_{gc}$$

其中，$\phi_{gc}$是增益交越频率处的相位角。

控制系统的稳定性基于增益裕度和相位裕度之间的关系，如下所示。

• 如果增益裕度$GM$大于1且相位裕度$PM$为正，则控制系统**稳定**。

• 如果增益裕度$GM$等于1且相位裕度$PM$为零度，则控制系统**临界稳定**。

• 如果增益裕度$GM$小于1和/或相位裕度$PM$为负，则控制系统**不稳定**。