控制系统 - 稳定性分析

本章将讨论使用劳斯-赫尔维茨稳定性判据在s域进行的稳定性分析。在此判据中，我们需要特征方程来确定闭环控制系统的稳定性。

劳斯-赫尔维茨稳定性判据

劳斯-赫尔维茨稳定性判据具有一个必要条件和一个充分条件。如果任何控制系统不满足必要条件，则可以说该控制系统是不稳定的。但是，如果控制系统满足必要条件，则它可能稳定也可能不稳定。因此，充分条件有助于确定控制系统是否稳定。

劳斯-赫尔维茨稳定性的必要条件

必要条件是特征多项式的系数应为正。这意味着特征方程的所有根都应该具有负实部。

考虑n阶特征方程：

$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0=0$

请注意，n阶特征方程中不应缺少任何项。这意味着n阶特征方程不应有任何系数为零。

劳斯-赫尔维茨稳定性的充分条件

充分条件是劳斯阵列第一列的所有元素都具有相同的符号。这意味着劳斯阵列第一列的所有元素都应为正或负。

劳斯阵列法

如果特征方程的所有根都存在于s平面的左半平面，则控制系统是稳定的。如果特征方程至少有一个根存在于s平面的右半平面，则控制系统是不稳定的。因此，我们必须找到特征方程的根才能知道控制系统是稳定的还是不稳定的。但是，随着阶数的增加，找到特征方程的根变得困难。

因此，为了克服这个问题，我们有劳斯阵列法。在这种方法中，不需要计算特征方程的根。首先构建劳斯表，然后找到劳斯表第一列中符号变化的次数。劳斯表第一列中符号变化的次数给出了存在于s平面右半平面的特征方程根的个数，并且控制系统是不稳定的。

按照此步骤构建劳斯表。

用特征多项式的系数填充劳斯阵列的前两行，如下表所示。从 $s^n$ 的系数开始，一直到 $s^0$ 的系数。
用下表中提到的元素填充劳斯阵列的其余行。继续此过程，直到得到 $s^0$ 行的第一列元素为 $a_n$ 。这里， $a_n$ 是特征多项式中 $s^0$ 的系数。

注意 − 如果劳斯表的任何行元素有一些公因子，则可以将行元素除以该因子，以便简化。

下表显示了n阶特征多项式的劳斯阵列。

$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0$

$s^n$	$a_0$	$a_2$	$a_4$	$a_6$	...	...
$s^{n-1}$	$a_1$	$a_3$	$a_5$	$a_7$	...	...
$s^{n-2}$	$b_1=\frac{a_1a_2-a_3a_0}{a_1}$	$b_2=\frac{a_1a_4-a_5a_0}{a_1}$	$b_3=\frac{a_1a_6-a_7a_0}{a_1}$	...	...	...
$s^{n-3}$	$c_1=\frac{b_1a_3-b_2a_1}{b_1}$	$c_2=\frac{b_1a_5-b_3a_1}{b_1}$	$\vdots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$s^1$	$\vdots$	$\vdots$
$s^0$	$a_n$

示例

让我们找到具有以下特征方程的控制系统的稳定性：

$s^4+3s^3+3s^2+2s+1=0$

步骤1 − 验证劳斯-赫尔维茨稳定性的必要条件。

特征多项式 $s^4+3s^3+3s^2+2s+1$ 的所有系数均为正。因此，控制系统满足必要条件。

步骤2 − 为给定的特征多项式构建劳斯阵列。

$s^4$	$1$	$3$	$1$
$s^3$	$3$	$2$
$s^2$	$\frac{(3 \times 3)-(2 \times 1)}{3}=\frac{7}{3}$	$\frac{(3 \times 1)-(0 \times 1)}{3}=\frac{3}{3}=1$
$s^1$	$\frac{\left ( \frac{7}{3}\times 2 \right )-(1 \times 3)}{\frac{7}{3}}=\frac{5}{7}$
$s^0$	$1$

步骤3 − 验证劳斯-赫尔维茨稳定性的充分条件。

劳斯阵列第一列的所有元素均为正。劳斯阵列第一列中没有符号变化。因此，控制系统是稳定的。

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劳斯阵列的特殊情况

在构建劳斯表时，我们可能会遇到两种情况。这两种情况下难以完成劳斯表。

这两种特殊情况是：

劳斯阵列的任何行的第一个元素为零。
劳斯阵列的任何行的所有元素都为零。

现在让我们逐一讨论如何克服这两种情况下的困难。

劳斯阵列的任何行的第一个元素为零

如果劳斯阵列的任何一行只包含第一个元素为零，而至少一个其余元素具有非零值，则用一个小的正整数 $\epsilon$ 替换第一个元素。然后继续完成劳斯表的过程。现在，通过将 $\epsilon$ 趋于零来找到劳斯表第一列中符号变化的次数。

示例

让我们找到具有以下特征方程的控制系统的稳定性：

$s^4+2s^3+s^2+2s+1=0$

步骤1 − 验证劳斯-赫尔维茨稳定性的必要条件。

特征多项式 $s^4+2s^3+s^2+2s+1$ 的所有系数均为正。因此，控制系统满足必要条件。

步骤2 − 为给定的特征多项式构建劳斯阵列。

$s^4$	$1$	$1$	$1$
$s^3$	2 1	2 1
$s^2$	$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$	$\frac{(1 \times 1)-(0 \times 1)}{1}=1$
$s^1$
$s^0$

$s^3$ 行的元素有公因子2。因此，所有这些元素都除以2。

特殊情况(i) − $s^2$ 行的只有第一个元素为零。因此，用 $\epsilon$ 替换它并继续完成劳斯表的过程。

$s^4$	1	1	1
$s^3$	1	1
$s^2$	$\epsilon$	1
$s^1$	$\frac{\left ( \epsilon \times 1 \right )-\left ( 1 \times 1 \right )}{\epsilon}=\frac{\epsilon-1}{\epsilon}$
$s^0$	1

步骤3 − 验证劳斯-赫尔维茨稳定性的充分条件。

当 $\epsilon$ 趋于零时，劳斯表变为：

$s^4$	1	1	1
$s^3$	1	1
$s^2$	0	1
$s^1$	-∞
$s^0$	1

劳斯表第一列中有两次符号变化。因此，控制系统是不稳定的。

劳斯阵列的任何行的所有元素都为零

在这种情况下，请遵循以下两个步骤：

编写位于零行上方的行的辅助方程A(s)。
对方程A(s)关于s求导。用这些系数填充零行。

示例

让我们找到具有以下特征方程的控制系统的稳定性：

$s^5+3s^4+s^3+3s^2+s+3=0$

步骤1 − 验证劳斯-赫尔维茨稳定性的必要条件。

给定特征多项式的所有系数均为正。因此，控制系统满足必要条件。

步骤2 − 为给定的特征多项式构建劳斯阵列。

$s^5$	1	1	1
$s^4$	3 1	3 1	3 1
$s^3$	$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$	$\frac{(1 \times 1)-(1 \times 1)}{1}=0$
$s^2$
$s^1$
$s^0$

$s^4$ 行的元素有公因子3。因此，所有这些元素都除以3。

特殊情况(ii) − $s^3$ 行的所有元素都为零。因此，编写 $s^4$ 行的辅助方程A(s)。

$A(s)=s^4+s^2+1$

对方程关于s求导。

$\frac{\text{d}A(s)}{\text{d}s}=4s^3+2s$

将这些系数放在 $s^3$ 行。

$s^5$	1	1	1
$s^4$	1	1	1
$s^3$	4 2	2 1
$s^2$	$\frac{(2 \times 1)-(1 \times 1)}{2}=0.5$	$\frac{(2 \times 1)-(0 \times 1)}{2}=1$
$s^1$	$\frac{(0.5 \times 1)-(1 \times 2)}{0.5}=\frac{-1.5}{0.5}=-3$
$s^0$	1

步骤3 − 验证劳斯-赫尔维茨稳定性的充分条件。

劳斯表第一列中有两次符号变化。因此，控制系统是不稳定的。

在劳斯-赫尔维茨稳定性判据中，我们可以知道闭环极点是在s平面的左半平面、s平面的右半平面还是虚轴上。因此，我们无法找到控制系统的性质。为了克服这一局限性，有一种称为根轨迹的技术。我们将在接下来的两章中讨论这种技术。

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