控制系统 - 根轨迹

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在根轨迹图中，我们可以观察到闭环极点的路径。因此，我们可以识别控制系统的特性。在这种技术中，我们将使用开环传递函数来了解闭环控制系统的稳定性。

根轨迹基础

根轨迹是通过将系统增益 K 从零变到无穷大，得到特征方程根的轨迹。

我们知道，闭环控制系统的特征方程为

$$1+G(s)H(s)=0$$

我们可以将 $G(s)H(s)$ 表示为

$$G(s)H(s)=K\frac{N(s)}{D(s)}$$

其中，

• K 表示乘法因子

• N(s) 表示分子项，具有 's' 的 n 阶多项式（因式分解）。

• D(s) 表示分母项，具有 's' 的 m 阶多项式（因式分解）。

将 $G(s)H(s)$ 的值代入特征方程。

$$1+k\frac{N(s)}{D(s)}=0$$

$$\Rightarrow D(s)+KN(s)=0$$

情况 1 - K = 0

如果 $K=0$，则 $D(s)=0$。

这意味着，当 K 为零时，闭环极点等于开环极点。

情况 2 - K = ∞

将上述特征方程重写为

$$K\left(\frac{1}{K}+\frac{N(s)}{D(s)} \right )=0 \Rightarrow \frac{1}{K}+\frac{N(s)}{D(s)}=0$$

在上述方程中代入 $K = \infty$。

$$\frac{1}{\infty}+\frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow \frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow N(s)=0$$

如果 $K=\infty$，则 $N(s)=0$。这意味着当 K 为无穷大时，闭环极点等于开环零点。

从以上两种情况，我们可以得出结论：根轨迹分支从开环极点开始，在开环零点结束。

角条件和幅值条件

根轨迹分支上的点满足角条件。因此，角条件用于了解该点是否存在于根轨迹分支上。我们可以使用幅值条件找到根轨迹分支上点的 K 值。因此，我们可以对满足角条件的点使用幅值条件。

闭环控制系统的特征方程为

$$1+G(s)H(s)=0$$

$$\Rightarrow G(s)H(s)=-1+j0$$

$G(s)H(s)$ 的**相位角**为

$$\angle G(s)H(s)=\tan^{-1}\left ( \frac{0}{-1} \right )=(2n+1)\pi$$

**角条件**是指开环传递函数的相位角为 180⁰ 的奇数倍的点。

$G(s)H(s)$ 的**幅值**为 -

$$|G(s)H(s)|=\sqrt {(-1)^2+0^2}=1$$

**幅值条件**是指满足角条件的点，在该点开环传递函数的幅值为 1。