控制系统 - 极坐标图

在之前的章节中，我们讨论了波德图。在那里，我们分别绘制了幅值和相位与频率的关系曲线。现在让我们讨论极坐标图。极坐标图是在幅值和相位之间绘制的曲线图。这里，幅值仅用普通值表示。

G(jω)H(jω)的极坐标形式为：

$$G(j\omega)H(j\omega)=|G(j\omega)H(j\omega)| \angle G(j\omega)H(j\omega)$$

极坐标图是通过改变ω从零到∞来绘制G(jω)H(jω)的幅值和相位角之间的曲线图。极坐标图纸如下所示。

该图纸由同心圆和径向线组成。同心圆和径向线分别表示幅值和相位角。这些角度以逆时针方向用正值表示。类似地，我们可以用顺时针方向的负值表示角度。例如，逆时针方向的270⁰角等于顺时针方向的−90⁰角。

绘制极坐标图的规则

请遵循以下规则绘制极坐标图。

• 在开环传递函数中，将s替换为jω。

• 写出G(jω)H(jω)的幅值和相位的表达式。

• 通过将ω=0代入，找到G(jω)H(jω)的起始幅值和相位。因此，极坐标图从此幅值和相位角开始。

• 通过将ω=∞代入，找到G(jω)H(jω)的结束幅值和相位。因此，极坐标图以此幅值和相位角结束。

• 检查极坐标图是否与实轴相交，方法是将G(jω)H(jω)的虚数项设为零，并找到ω的值。

• 检查极坐标图是否与虚轴相交，方法是将G(jω)H(jω)的实数项设为零，并找到ω的值。

• 为了更清晰地绘制极坐标图，请考虑ω的其他值，找到G(jω)H(jω)的幅值和相位。

示例

考虑闭环控制系统的开环传递函数。

$$G(s)H(s)=\frac{5}{s(s+1)(s+2)}$$

让我们使用上述规则绘制该控制系统的极坐标图。

步骤1 - 在开环传递函数中，将s替换为jω。

$$G(j\omega)H(j\omega)=\frac{5}{j\omega(j\omega+1)(j\omega+2)}$$

开环传递函数的幅值为：

$$M=\frac{5}{\omega(\sqrt{\omega^2+1})(\sqrt{\omega^2+4})}$$

开环传递函数的相位角为：

$$\phi=-90^0-\tan^{-1}\omega-\tan^{-1}\frac{\omega}{2}$$

步骤2 - 下表显示了开环传递函数在ω=0 rad/sec和ω=∞ rad/sec时的幅值和相位角。

∞

-270 或 90

因此，极坐标图从(∞,−90⁰)开始，在(0,−270⁰)结束。括号中的第一项和第二项分别表示幅值和相位角。

步骤3 - 基于起始和结束极坐标，该极坐标图将与负实轴相交。与负实轴对应的相位角为−180⁰或180⁰。因此，通过将开环传递函数的相位角等于−180⁰或180⁰，我们将得到ω值为√2。