MATLAB - 二维逆余弦变换

逆余弦变换，通常表示为 ICT 或 IDCT，是一种数学运算，它反转余弦变换的过程。它在信号和图像处理中特别有用，用于从其频域表示中重建信号或图像。

在二维信号或图像的上下文中，二维逆余弦变换（二维 ICT 或二维 IDCT）将余弦系数矩阵（表示信号或图像的频率内容）转换回空间域，从而产生原始信号或图像。

MATLAB 中的二维逆余弦变换用于将余弦值矩阵转换为空间域图像。它是二维余弦变换的逆运算，通常用于图像处理和压缩。idct2 函数用于在 MATLAB 中执行二维逆余弦变换。

二维逆离散余弦变换

在 MATLAB 中，idct2 函数用于执行二维逆余弦变换。它以余弦系数矩阵作为输入，并返回信号或图像的空间域表示。结果是可显示或进一步处理的重建图像。

逆余弦变换在各种应用中至关重要，包括图像压缩（例如，在 JPEG 压缩中）、图像重建和信号处理任务，在这些任务中，需要在频域操作后将信号或图像转换回其原始形式。

语法

B = idct2(A)
B = idct2(A,m,n)
B = idct2(A,[m n])

语法说明

B = idct2(A) - 计算矩阵 A 的二维逆离散余弦变换 (IDCT)，并将结果返回到矩阵 B 中。此操作有效地从其频域表示 A 中重建空间域图像。

B = idct2(A, m,n) - 计算矩阵 A 的二维逆离散余弦变换 (IDCT)，并将输出矩阵 B 的大小指定为 m×n。此操作有效地从其频域表示 A 中重建空间域图像，并将其调整为指定尺寸 m×n。

B = idct2(A, [m,n]) - 计算矩阵 A 的二维逆离散余弦变换 (IDCT)，并将输出矩阵 B 调整为具有 m 行和 n 列。此操作从其频域表示 A 中重建空间域图像，并将其调整为指定的尺寸 [m n]。

让我们看看二维逆离散余弦变换的一些示例

示例 1：使用 idct2() 函数从图像中去除高频

我们的代码如下：

img = imread('autumn.tif');

% Convert to grayscale if necessary
if size(img, 3) == 3
    img = rgb2gray(img);
end

% Compute 2-D DCT
dct_img = dct2(double(img));

% Set a threshold to remove high frequencies (e.g., keep only the first 50 coefficients)
threshold = 50;
dct_img_thresh = dct_img;
dct_img_thresh(threshold+1:end, :) = 0;
dct_img_thresh(:, threshold+1:end) = 0;

% Compute the inverse 2-D DCT to get the filtered image
filtered_img = uint8(idct2(dct_img_thresh));

% Display the original and filtered images
figure;
subplot(1, 2, 1);
imshow(img);
title('Original Image');

subplot(1, 2, 2);
imshow(filtered_img);
title('Filtered Image');

在示例中：

imread 函数用于从文件（在本例中为“autumn.tif”）读取图像并将其存储在变量 img 中。
如果图像为彩色图像（即，它具有红色、绿色和蓝色的三个通道），则使用 rgb2gray 函数将其转换为灰度图像。这样做是因为二维 DCT 通常应用于灰度图像。
dct2 函数计算图像的二维 DCT。结果存储在变量 dct_img 中。DCT 以频域表示图像，其中高频分量对应于像素值的快速变化。
选择一个阈值来确定要保留哪些 DCT 系数以及要丢弃哪些系数。在本例中，我们选择仅保留前 50 个系数（在 256×256 的图像中，这些系数表示最低频率）。高频系数（超过阈值的系数）设置为零。
idct2 函数计算修改后的 DCT 系数 (dct_img_thresh) 的逆二维 DCT。此操作有效地从其频域表示中重建空间域图像。结果存储在 filtered_img 中。
最后，使用 imshow 函数并排显示原始图像和过滤后的图像。原始图像显示在左侧，过滤后的图像（已去除高频）显示在右侧。

执行后，我们得到以下输出：

示例 2：使用 B = idct2(A, m,n) 调整图像大小

我们的代码如下：

% Read the image
img = imread('autumn.tif');

% Convert the image to grayscale
if size(img, 3) == 3
    img = rgb2gray(img);
end

% Compute the 2-D DCT of the image
dct_img = dct2(double(img));

% Resize the DCT coefficients matrix (frequency domain representation) to a smaller size
% Let's resize it to half the original size
new_size = size(img) / 2;
dct_resized = imresize(dct_img, new_size);

% Compute the inverse 2-D DCT to get the resized image
resized_img = uint8(idct2(dct_resized, size(img, 1), size(img, 2)));

% Display the original and resized images
subplot(1, 2, 1);
imshow(img);
title('Original Image');

subplot(1, 2, 2);
imshow(resized_img);
title('Resized Image using 2-D IDCT');

在示例中，我们有：

imread 函数用于从文件（在本例中为“autumn.tif”）读取图像并将其存储在变量 img 中。
如果图像为彩色图像（即，它具有红色、绿色和蓝色的三个通道），则使用 rgb2gray 函数将其转换为灰度图像。此步骤很重要，因为二维 DCT 通常应用于灰度图像。
dct2 函数计算图像的二维 DCT。结果存储在变量 dct_img 中。DCT 以频域表示图像，其中图像的不同频率由不同的系数表示。
为了调整图像大小，我们将 DCT 系数矩阵 (dct_img) 调整为更小的尺寸。这是使用 imresize 函数完成的，指定新尺寸为原始尺寸的一半 (new_size = size(img) / 2)。这有效地减少了图像的频域表示。
idct2 函数计算调整大小后的 DCT 系数 (dct_resized) 的逆二维 DCT。此操作有效地从其调整大小后的频域表示中重建调整大小后的空间域图像。
最后，使用 imshow 函数并排显示原始图像和调整大小后的图像。原始图像显示在左侧，调整大小后的图像（使用二维 IDCT 获得）显示在右侧。

执行后的输出为：

示例 3：使用二维逆离散余弦变换 (IDCT) 调整矩阵大小

我们的代码如下：

% Create a sample matrix A
A = [
    10, 20, 30, 40;
    50, 60, 70, 80;
    90, 100, 110, 120;
    130, 140, 150, 160
];

% Display the original matrix A
disp('Original Matrix A:');
disp(A);

% Compute the 2-D IDCT of A and resize it to a 3x2 matrix
B = idct2(A, [3, 2]);

% Display the resized matrix B
disp('Resized Matrix B (3x2):');
disp(B);

在此示例中，我们创建了一个 4×4 的示例矩阵 A。然后，我们将二维 IDCT 应用于 A 并将结果调整为 3×2 矩阵 [m, n] = [3, 2]。变换后的调整大小后的矩阵 B 将被显示。

我们得到的输出如下：

Original Matrix A:
    10    20    30    40
    50    60    70    80
    90   100   110   120
   130   140   150   160

Resized Matrix B (3x2):
  122.0957  -11.9692
  -97.4491    1.6910
   12.0957   -1.9692

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