MATLAB - 行简化阶梯形矩阵

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行简化阶梯形矩阵 (RREF) 是线性代数中使用的矩阵的一种特定形式，用于求解线性方程组、进行秩计算以及分析线性变换。矩阵的 RREF 是唯一的，并且可以通过一系列初等行运算获得：行交换、行缩放以及将一行乘以一个数加到另一行。

RREF 的定义

如果矩阵满足以下条件，则该矩阵处于行简化阶梯形。

  • 主元为 1 - 每一非零行的首个非零元素为 1。
  • 主元上方和下方为 0 - 每个主元 1 是其所在列中唯一的非零元素。
  • 行排序 - 任何一行的主元都位于其上一行主元的右边。
  • 零行 - 任何仅包含零的列都位于矩阵的底部。

让我们考虑一个简单的例子

假设我们有一个矩阵 A：

$$\mathrm{A \: = \: \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & -3 \\ 3 & 6 & 4 \end{bmatrix}}$$

要找到它的 RREF，请执行以下步骤。

步骤 1 - 将第一行转换为具有主元 1（如有必要，除以主系数）。

R1 = [1 2 1].

步骤 2 - 通过从后续行中减去第一行的倍数来消除第一列中主元 1 下方的元素。

$$\mathrm{R2\:=\:\begin{bmatrix}2&4&-3\end{bmatrix}\:-2\:\times\:\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix}\:=\:\begin{bmatrix}0&0&-5\end{bmatrix}}$$

$$\mathrm{R3\:=\:\begin{bmatrix}3&6&4\end{bmatrix}\:-3\:\times\:\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix}\:=\:\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}} $$

步骤 3 - 将新行转换为具有主元 1。

R3 = [ 0 0 1 ]

步骤 4 - 通过减去第三行的适当倍数来消除第三列中主元 1 上方的元素。

$$\mathrm{R1\:=\:\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix}\:-1\:\times\:\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}\:=\:\begin{bmatrix}1&2&0\end{bmatrix}}$$

$$\mathrm{R2\:=\:\begin{bmatrix}0&0&-5\end{bmatrix}\:-(-5)\:\times\:\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}\:=\:\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}}$$

得到的 RREF 矩阵为：

$$\mathrm{R \: = \: \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

使用 Matlab 计算行简化阶梯形矩阵

在 MATLAB 中，可以使用内置函数 rref() 来计算矩阵的行简化阶梯形矩阵 (RREF)。RREF 是经过行约简达到简化形式的矩阵，这使得求解线性方程组更加容易。

语法

R = rref(A)
R = rref(A,tol)
[R,p] = rref(A)

语法解释

R = rref(A) 使用高斯-约旦消元法给出矩阵 A 的简化版本，该方法包括一个步骤，通过在需要时交换行来确保计算更稳定。

R = rref(A, tol) 允许您设置容差级别 (tol)，这有助于算法确定哪些列太小而不足以被认为重要。

行简化阶梯形矩阵 Matlab 示例

以下是一些演示如何有效使用此函数的示例：

示例 1

考虑以下线性方程组。

2x+4y = 10;
4x+9y = 19;

对于上述方程，我们

定义增广矩阵

A = [2 4 10; 4 9 19];

此矩阵表示方程组，其中前两列表示 x 和 y 的系数，最后一列表示方程右侧的常数。

使用 rref() 简化矩阵

R = rref(A);

rref() 函数将高斯-约旦消元法应用于矩阵 A。它通过使对角元素为 1 并使这些列中的所有其他元素为 0 来简化矩阵。

如果需要，算法将交换行以确保数值稳定性。这确保了在处理小数或大数时，计算不会出现舍入误差或不稳定性。

disp('The Reduced Row Echelon Form is:');
disp(R);

完整的代码如下所示：

% Define the augmented matrix
A = [2 4 10; 4 9 19];

% Compute the Reduced Row Echelon Form
R = rref(A);

% Display the result
disp('The Reduced Row Echelon Form is:');
disp(R);

执行后，得到的输出如下：

>> % Define the augmented matrix
A = [2 4 10; 4 9 19];

% Compute the Reduced Row Echelon Form
R = rref(A);

% Display the result
disp('The Reduced Row Echelon Form is:');
disp(R);

The Reduced Row Echelon Form is:
     1     0     7
     0     1    -1

>>

该矩阵现在处于简化形式，称为行简化阶梯形矩阵 (RREF)。

线性方程的解为 x=7 和 y=-1

示例 2

考虑以下矩阵。

$$\mathrm{A \: = \: \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6.0001 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}}$$

此矩阵有一行几乎是其他行的线性组合，除了一个很小的差异（6 对 6.0001）。使用容差参数将允许我们决定是否应该忽略或考虑该小差异。

定义矩阵

A = [1 2 3; 2 4 6.0001; 3 6 9];

此矩阵几乎是秩亏的，因为第二行和第三行几乎是第一行的线性组合。

使用具有指定容差的 rref()

tol = 0.01; % Set a higher tolerance
R_high_tol = rref(A, tol);

在这里，我们使用 0.01 的容差，这意味着任何小于 0.01 的值都将被视为零。在这种情况下，6 和 6.0001 之间的微小差异将被忽略。

tol = 1e-6; % Set a lower tolerance
R_low_tol = rref(A, tol);

使用更小的容差 (1e-6)，算法将认为即使是微小的差异也很重要，因此 6 和 6.0001 之间的微小差异将被考虑在内。

最终代码如下：

% Define the matrix
A = [1 2 3; 2 4 6.0001; 3 6 9];

% Compute RREF with high tolerance
tol = 0.01;
R_high_tol = rref(A, tol);

% Compute RREF with low tolerance
tol = 1e-6;
R_low_tol = rref(A, tol);

% Display the results
disp('Reduced Row Echelon Form with high tolerance:');
disp(R_high_tol);

disp('Reduced Row Echelon Form with low tolerance:');
disp(R_low_tol);

执行后，得到的输出为：

>> % Define the matrix
A = [1 2 3; 2 4 6.0001; 3 6 9];

% Compute RREF with high tolerance
tol = 0.01;
R_high_tol = rref(A, tol);

% Compute RREF with low tolerance
tol = 1e-6;
R_low_tol = rref(A, tol);

% Display the results
disp('Reduced Row Echelon Form with high tolerance:');
disp(R_high_tol);

disp('Reduced Row Echelon Form with low tolerance:');
disp(R_low_tol);

Reduced Row Echelon Form with high tolerance:
     1     2     3
     0     0     0
     0     0     0

Reduced Row Echelon Form with low tolerance:
     1     2     0
     0     0     1
     0     0     0

>>
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