MATLAB - 微分

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MATLAB 提供了 **diff** 命令用于计算符号导数。最简单的形式是，将要微分的函数作为参数传递给 diff 命令。

例如，让我们计算函数 f(t) = 3t² + 2t^-2 的导数。

示例

创建一个脚本文件，并在其中键入以下代码：

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

编译并执行上述代码后，会产生以下结果：

ans =
6*t - 4/t^3

以下是上述计算的 Octave 等效代码：

pkg load symbolic
symbols

t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)

Octave 执行代码并返回以下结果：

ans =
   -(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

微分基本规则的验证

让我们简要说明各种函数微分方程或规则，并验证这些规则。为此，我们将用 f'(x) 表示一阶导数，用 f"(x) 表示二阶导数。

以下是微分规则：

规则 1

对于任何函数 f 和 g，以及任何实数 a 和 b，函数：

**h(x) = af(x) + bg(x)** 关于 x 的导数由下式给出：

h'(x) = af'(x) + bg'(x)

规则 2

**和** 和 **差** 规则指出，如果 f 和 g 是两个函数，f' 和 g' 分别是它们的导数，则：

(**f + g)' = f' + g'**

(f - g)' = f' - g'

规则 3

**积** 规则指出，如果 f 和 g 是两个函数，f' 和 g' 分别是它们的导数，则：

(f.g)' = f'.g + g'.f

规则 4

**商** 规则指出，如果 f 和 g 是两个函数，f' 和 g' 分别是它们的导数，则：

(f/g)' = (f'.g - g'.f)/g²

规则 5

**多项式** 或基本幂规则指出，如果 **y = f(x) = xⁿ**，则 **f' = n. x^(n-1)**

此规则的一个直接结果是任何常数的导数为零，即如果 **y = k**，任何常数，则

f' = 0

规则 6

**链** 规则指出，函数的函数 **h(x) = f(g(x))** 关于 x 的导数为：

h'(x)= f'(g(x)).g'(x)

示例

创建一个脚本文件，并在其中键入以下代码：

syms x
syms t

f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)

f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)

f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)

运行该文件时，MATLAB 会显示以下结果：

f =
   (x^2 + 3)*(x + 2)
 
   der1 =
   2*x*(x + 2) + x^2 + 3
  
f =
   (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)
 
   der2 =
   (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)
  
f =
   (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
  
der3 =
   (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)
 
f =
   (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
  
der4 =
   (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2
  
f =
   (x^2 + 1)^17
  
der5 =
   34*x*(x^2 + 1)^16
  
f =
   1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6
  
der6 =
   -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

以下是上述计算的 Octave 等效代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
t = sym("t");

f = (x + 2)*(x^2 + 3) 
der1 = differentiate(f,x) 

f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3) 
der2 = differentiate(f,t) 

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) 
der3 = differentiate(f,x) 

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) 
der4 = differentiate(f,x) 

f = (x^2 + 1)^17 
der5 = differentiate(f,x) 

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6) 
der6 = differentiate(f,t)

Octave 执行代码并返回以下结果：

f =

(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1 =

3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f =

(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2 =

(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f =

(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3 =

(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4 =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f =

(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5 =

(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f =

(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6 =

-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

指数函数、对数函数和三角函数的导数

下表提供了常用的指数函数、对数函数和三角函数的导数：

示例

创建一个脚本文件，并在其中键入以下代码：

syms x
y = exp(x)
diff(y)

y = x^9
diff(y)

y = sin(x)
diff(y)

y = tan(x)
diff(y)

y = cos(x)
diff(y)

y = log(x)
diff(y)

y = log10(x)
diff(y)

y = sin(x)^2
diff(y)

y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)

y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

运行该文件时，MATLAB 会显示以下结果：

y =
   exp(x)
   ans =
   exp(x)

y =
   x^9
   ans =
   9*x^8
  
y =
   sin(x)
   ans =
   cos(x)
  
y =
   tan(x)
   ans =
   tan(x)^2 + 1
 
y =
   cos(x)
   ans =
   -sin(x)
  
y =
   log(x)
   ans =
   1/x
  
y =
   log(x)/log(10)
   ans =
   1/(x*log(10))
 
y =
   sin(x)^2
   ans =
   2*cos(x)*sin(x)
 
y =
   cos(3*x^2 + 2*x + 1)
   ans =
   -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)
  
y =
   exp(x)/sin(x)
   ans =
   exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

以下是上述计算的 Octave 等效代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)

y = x^9
differentiate(y,x)

y = Sin(x)
differentiate(y,x)

y = Tan(x)
differentiate(y,x)

y = Cos(x)
differentiate(y,x)

y = Log(x)
differentiate(y,x)

% symbolic packages does not have this support
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)

y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)

y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)

y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

Octave 执行代码并返回以下结果：

y =

exp(x)
ans =

exp(x)
y =

x^(9.0)
ans =

(9.0)*x^(8.0)
y =

sin(x)
ans =

cos(x)
y =

tan(x)
ans =

1+tan(x)^2
y =

cos(x)
ans =

-sin(x)
y =

log(x)
ans =

x^(-1)
y =

sin(x)^(2.0)
ans =

(2.0)*sin(x)*cos(x)
y =

cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans =

-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y =

sin(x)^(-1)*exp(x)
ans =

sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

计算高阶导数

要计算函数 f 的高阶导数，我们使用语法 **diff(f,n)**。

让我们计算函数 y = f(x) = x .e^-3x 的二阶导数。

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)

MATLAB 执行代码并返回以下结果：

ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

以下是上述计算的 Octave 等效代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)

Octave 执行代码并返回以下结果：

ans =

(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

示例

在这个例子中，让我们解决一个问题。给定函数 **y = f(x) = 3 sin(x) + 7 cos(5x)**。我们将必须找出方程 **f" + f = -5cos(2x)** 是否成立。

创建一个脚本文件，并在其中键入以下代码：

syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);  % defining the function
lhs = diff(y,2)+y;        %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*cos(2*x);        %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

运行该文件时，它会显示以下结果：

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-168*cos(5*x)

以下是上述计算的 Octave 等效代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x);           % defining the function
lhs = differentiate(y, x, 2) + y;  %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*Cos(2*x);                 %rhs of the equation

if(lhs == rhs)
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

Octave 执行代码并返回以下结果：

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-(168.0)*cos((5.0)*x)

求曲线的最大值和最小值

如果我们正在搜索图形的局部最大值和最小值，我们基本上是在寻找函数图形在特定局部或特定范围内的符号变量值中的最高点或最低点。

对于函数 y = f(x)，图形上斜率为零的点称为 **驻点**。换句话说，驻点是 f'(x) = 0 的地方。

要找到函数的驻点，我们需要对函数进行微分，并将导数设置为零并求解该方程。

示例

让我们找到函数 f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 17 的驻点。

执行以下步骤：

首先让我们输入函数并绘制其图形。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y)

MATLAB 执行代码并返回以下图形：

以下是上述示例的 Octave 等效代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y)
print -deps graph.eps

我们的目标是在图形上找到一些局部最大值和最小值，因此让我们找到图形上区间 [-2, 2] 的局部最大值和最小值。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])

MATLAB 执行代码并返回以下图形：

以下是上述示例的 Octave 等效代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps

接下来，让我们计算导数。

g = diff(y)

MATLAB 执行代码并返回以下结果：

g =
   6*x^2 + 6*x - 12

以下是上述计算的 Octave 等效代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

Octave 执行代码并返回以下结果：

g =
   -12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

让我们求解导数函数 g，以获得它变为零的值。

s = solve(g)

MATLAB 执行代码并返回以下结果：

s =
   1
   -2

以下是上述计算的 Octave 等效代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])

Octave 执行代码并返回以下结果：

g =

-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans =

  -2
   1

**这与我们的图一致。因此，让我们在临界点 x = 1, -2 处评估函数 f。** 我们可以使用 **subs** 命令在符号函数中替换一个值。

subs(y, 1), subs(y, -2)

MATLAB 执行代码并返回以下结果：

ans =
   10
ans =
   37

以下是上述计算的 Octave 等效代码：

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)

ans =
   10.0
ans =
   37.0-4.6734207789940138748E-18*I

因此，函数 f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 17 在区间 [-2,2] 中的最小值和最大值分别为 10 和 37。

求解微分方程

MATLAB 提供了 **dsolve** 命令用于符号求解微分方程。

用于查找单个方程解的 **dsolve** 命令的最基本形式为

dsolve('eqn') 

其中 eqn 是用于输入方程的文本字符串。

它返回一个符号解，其中包含一组 MATLAB 标记为 C1、C2 等的任意常数。

您还可以指定问题的初始条件和边界条件，作为方程后的逗号分隔列表，如下所示：

dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)  

为了使用 dsolve 命令，**导数用 D 表示**。例如，方程 f'(t) = -2*f + cost(t) 输入为：

'Df = -2*f + cos(t)'

高阶导数用 D 后跟导数的阶数来表示。

例如，方程 f"(x) + 2f'(x) = 5sin3x 应输入为：

'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'

让我们举一个一阶微分方程的简单例子：y' = 5y。

s = dsolve('Dy = 5*y')

MATLAB 执行代码并返回以下结果：

s =
   C2*exp(5*t)

让我们再来看一个二阶微分方程的例子，如下：y" - y = 0，y(0) = -1，y'(0) = 2。

dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')

MATLAB 执行代码并返回以下结果：

ans =
   exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2