MATLAB - 变换

MATLAB 提供了用于处理变换的命令，例如拉普拉斯变换和傅里叶变换。变换在科学和工程中被用作简化分析和从另一个角度查看数据的工具。

例如，傅里叶变换允许我们将表示为时间函数的信号转换为频率函数。拉普拉斯变换允许我们将微分方程转换为代数方程。

MATLAB 提供了 `laplace`、`fourier` 和 `fft` 命令来处理拉普拉斯变换、傅里叶变换和快速傅里叶变换。

拉普拉斯变换

时间函数 f(t) 的拉普拉斯变换由以下积分给出：

拉普拉斯变换也表示为 f(t) 到 F(s) 的变换。您可以看到此变换或积分过程将符号变量 t 的函数 f(t) 转换为另一个具有另一个变量 s 的函数 F(s)。

拉普拉斯变换将微分方程转换为代数方程。要计算函数 f(t) 的拉普拉斯变换，请编写：

laplace(f(t))

在此示例中，我们将计算一些常用函数的拉普拉斯变换。

创建一个脚本文件并键入以下代码：

syms s t a b w

laplace(a)
laplace(t^2)
laplace(t^9)
laplace(exp(-b*t))
laplace(sin(w*t))
laplace(cos(w*t))

运行该文件时，它将显示以下结果：

ans =
   1/s^2

ans =
   2/s^3

ans =
   362880/s^10

ans =
   1/(b + s)
  
ans =
   w/(s^2 + w^2)
  
ans =
   s/(s^2 + w^2)

MATLAB 允许我们使用 `ilaplace` 命令计算逆拉普拉斯变换。

例如：

ilaplace(1/s^3)

MATLAB 将执行上述语句并显示结果：

ans =
   t^2/2

创建一个脚本文件并键入以下代码：

syms s t a b w

ilaplace(1/s^7)
ilaplace(2/(w+s))
ilaplace(s/(s^2+4))
ilaplace(exp(-b*t))
ilaplace(w/(s^2 + w^2))
ilaplace(s/(s^2 + w^2))

运行该文件时，它将显示以下结果：

ans =
   t^6/720

ans =
   2*exp(-t*w)

ans =
   cos(2*t)

ans =
   ilaplace(exp(-b*t), t, x)

ans =
   sin(t*w)

ans =
   cos(t*w)

傅里叶变换通常将时间的数学函数 f(t) 转换为一个新函数，有时表示为或 F，其参数是频率，单位为周期/秒（赫兹）或弧度/秒。然后，新函数被称为傅里叶变换和/或函数 f 的频谱。

创建一个脚本文件，并在其中键入以下代码：

syms x 
f = exp(-2*x^2);     %our function
ezplot(f,[-2,2])     % plot of our function
FT = fourier(f)      % Fourier transform

运行该文件时，MATLAB 将绘制以下图形：

显示以下结果：

FT =
   (2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-w^2/8))/2

绘制傅里叶变换为：

ezplot(FT)

给出以下图形：

MATLAB 提供了 `ifourier` 命令用于计算函数的逆傅里叶变换。例如：

f = ifourier(-2*exp(-abs(w)))

MATLAB 将执行上述语句并显示结果：

f =
   -2/(pi*(x^2 + 1))

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